Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
iV<TTc°3- (24.102)
Так, например, если момент инерции маятника / = 0,5 кг см сек2, приведенная длина / = 40 см и точка подвеса совершает в секунду
60 колебаний = 377 с амплитудой а = 2 см, то
1а о (377)8 аагло -т
¦тг — or = v ' кг см сек 1 = 6698 кг м сек
Z I oU
В данном случае, следовательно, согласно условию (24.102) для возможности вращения маятника с угловой скоростью ш (60 оборотов в секунду) необходимо, чтобы мощность, расходуемая на преодоление сопротивлений, не превосходила бы 6698 кг м сек"1.
§ 25. Случай быстро вращающейся фазы
В настоящем параграфе перейдем к обобщению метода усреднения на случай системы с быстро вращающейся фазой.
Соответствующее исследование было выполнено Д. Н. Зубаревым совместно с одним из авторов настоящей монографии [10].
Рассмотрим динамическую систему, состояние которой характеризуется угловой перемевпой а, г переменными хг, х2, . .., хг и описывается следующей системой уравнений:
d-^ = Xk(a, xL,..., xr) (А= 1, 2,...,r),
316
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
1ГЛ. V
где —большой параметр, Ы соответствует частоте вращения а; Хк (а, жх, ..., хг), А(а, хг хг) — периодические функции угловой переменной а с периодом 2г.
Заметим, что в частном случае, когда «> = const, а А (а, хг .. ., хг) = О, система (25.1) может быть непосредственно приведена к стандартной форме.
В самом деле, в данном случае имеем:
получим уравнепия типа (24.14), где
1
е~ Ы '
В общем случае системы (25.1) мы также можем воспользоваться основной идеей метода усреднения.
Покажем, что переменную а можно исключить из правых частей
1
уравнений (25.1) с любой степенью точности в разложении по степеням -г- .
К
Для этого найдем замену переменных:
так, чтобы коэффициенты в уравнении (25.3) уже не зависели от угловой переменной а.
Физический смысл преобразования (25.2) заключается в разложении действительного движения, описываемого переменными хг, х.2, . . ., хг, а, на усредненное движение с координатами х1: ..., хг и «дрожание», описываемое углом а и функциями
Определение функций, входящих в ураввение (25.2), вообще говоря, неоднозначно ввиду произвола, с которым можно относить различные члены разложения или к основному, или к высшим членам ряда. Указанное обстоятельство уже неоднократно отмечалось.
откуда, вводя новую независимую перемеппую
hut -- z,
СО
"I
(?= 1, 2, . .., г), -
(25.2)
с помощью которой систему (25.1) можно привести к виду
СО
(25.3)
СО
Un (я, хг, ..., хг) и ^(<х, хх, .. ., хт).
I 25]
СЛУЧАЙ БЫСТРО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ФАЗЫ
317
В случае, если имеем какое-нибудь конкретное разложение (25.2), всегда можно совершить замену переменных вида
xh = xh + efh (®1> •••» хг)+?2 •••.
в результате чего получим другую возможную форму разложений, поскольку xh с тем же правом может быть принято за новую xh.
Для получения определенных однозначных выражений коэффициентов (25.2) необходимо задать какие-либо дополнительные условия. Допустим, что Un и не должны содержать нулевых гармоник по а, считая тем самым, что в xh и а включено все усредненное движение.
Можно было бы наложить п другие дополнительные условия. Так, например, если бы система была канонической, можно было бы потребовать, чтобы уравнения усредненного движения (25.3) также были каноническими. Поскольку указанная неоднозначность имеет тривиальный характер, мы не будем детально останавливаться на возможных случаях.
Подставляя (25.2) в (25.1) и приравнивая члены при X, Х°, X”1, получим систему четырех уравнений для определения шести функций:
Q0, Qlt ХГ, XV, W, Uг
В системе (25.4) число неизвестных больше числа уравнений, что вполне согласуется со сделанным выше замечанием о неоднозначности. Недостающие уравнения получаются из условия отсутствия нулевых гармоник у и Un, т. е.
1^ = 0, ип = 0 (25.5)
(волнистой чертой обозначено усреднение по а).
Разложим функции А (а, хг, , xr), Хк (а, хг, .. ., хт) в ряды Фурье:
А (а, .. ., хг)
*i, • • •, хг)
= 2 Ате™а,
—со<т<со | (25.6)
= 2 Хкте'™
—оо<т<со
318
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
[ГЛ. V
Усредняя уравнения (25.4) по а, найдем:
W' = Xki0, (25.7)
1 'с-. Р та
42 V- <25-8>
пфО
в,-Л. (25.9)
^.“StST-2 (25.10)
пфО пфО q—t ®
= (25.11)
р, q ^ 4 q=i 4
Za, = azfe^7i +у aXfe^a,_ (2512)
9а . дха
9=1 4
С помощью (25.8), (25.10) уравнения (25.11), (25.12) приводятся к виду
а* v -а2ю- ¦ ^xvnxq.n+ У, п-
z ^ dxvdxg т п р’ 9’ ^ дх„ 1(0 п п q'~n
p,q,n^ q, п 4
(пф 0) (пф 0)
-ZvV-,- 2 (25.13)
пф 0 q,n ^
(пф 0)
V(D VI ^ V л V ^ dXhtn v I
— -2j ш ina) e. +
(пфО) n, q 9
(пфО)
\л d<o i
2 %nkx*.A-~ <25л4>
«, Q ®
<«=jfe0)
Выражения (25.7) — (25.10), (25.13), (25.14) дают искомое решение
системы (25.4).
Перейдем от комплексных рядов Фурье (25.6) к действительным рядам:
А=А+ 2 {/nc°s«« + gn sin па},
71= 1
Хн = Хй,о + 2 {^>'пС0Е5 n« + Gfe>„sinna}.
П=1
(25.15)
§ 25]
СЛУЧАИ БЫСТРО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ФАЗЫ
319
Представим формулы для замены переменных (25.2) с помощью уравнений (25.8), (25.10), (25.15) в виде
= + у 2 ~{-Gk,ncosna + Fk,nsinm} + o(^^ ,
П=1
а =я + f 2 i {- Bncos m + /nsin m'
i
• (25.16)
