Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
или
§ = M{eX(t,t + zX) + e*Y(t, S + sX)}. (24.68)
Таким образом, видим, что уравнения второго приближения могут быть получены непосредственно из точных уравнений (24.62), если в их правые части подставить вместо х форму улучшенного первого приближения (или, что то же самое, форму второго Приближения) и усреднить по явно содержащемуся времени t, считая в процессе усреднения переменные $ как бы постоянными, причем величины третьего порядка малости могут отбрасываться.
Этот принцип усреднения может быть также сформулирован следующим образом: уравнения второго приближения подучаются усреднонием точных уравнений (24.62), в обе части которых подставлено улучшенное первое приближение, по явно содержащемуся времени. В самом деле, уравнения второго приближения вытекают из соотношения
М {^} =М{зХ(г, x) + e?Y(t, х)} (24.69)
(где в обеих частях вместо х стоит ?-\-sX(t, ?)), причем в процес-
di, с.
се усреднения , ? трактуются как постоянные и величины порядка
308 МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ [Гл. V
малости а3 могут не приниматься во внимание. Для этого стоит лишь заметить, что при указанном истолковании операции М имеем, очевидно:
(
М \dx I М \ ~д% ^ ^ ^ . пг\д%\<&, пл \дХ\ dt
и (24.69) переходит в (24.68),
В заключение сделаем некоторые замечания относительно образования высших приближений.
Пусть общее уравнение в стандартной форме будет:
J = еХ (t, х) + е?Хг (t,x)+...+ e-Xm_, (t, х), (24.70)
где Xh (t, х) — некоторые тригонометрические' суммы того же типа, что и X(t, х).
Тогда, чтобы образовать т-е приближение, рассмотрим выражение х — 5 + s-^i S) + • • • + &mFm{t, ?), (24.71)
в котором Fk(t, S) являются суммами вида
2 ^‘Fkv-ik)
V-фО
и переменная k будет решением уравнения
| = SJP1(S)+S^2(5)+ • • • + з”7>га(6). (24.72)
Подставляя (24.71) в (24.70) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s до m-го порядка включительно, подберем Flt .. .,Fm и Pj, . .., Рт так, чтобы (24.71) удовлетворяло уравнению (24.70) с точностью до величин порядка малости em+1.
При этом получим:
P^) = M{X(t,
(?) = м{(1|г)х(г, EJ + X^*, 6)}; ...-F^t, ?)=?(*, S);
F2(t, k) = (x|)x(«, k)-d-~M{X(t, + 6); ...
Если теперь, определив Fu. .., Fm и Plt. .. , Pm, мы будем рассматривать выражение (24.71) как некоторую формулу замены переменных, преобразующую неизвестную х к новой неизвестной ?, то она определится уравнением вида
| = вРг (6) + в(?) + ...+ гтРп (6) + . . . (24.73)
Таким образом, если переменная 5 удовлетворяет уравнению (24.73), отличающемуся от уравнения (24.72) на величины порядка малости sm+1, то формула (24.71) представляет точное решение для (24.70).
Поэтому в качестве m-го приближения может быть принято выражение
x=% + zFi{t>t)+...+zm~'Fm_1{t, ?),
в котором ? определяется уравнением m-го приближения (24.72). Для такого ? формула (24.71) дает улучшенное т-е приближение, удовлетворяющее точному уравнению (24.70) с погрешностью порядка s”1*1.
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
309
Заметим, что если нам известна форма улучшенного (т — 1)-го приближения, то уравнения m-го приближения могут быть непосредственно получены из точных уравнений (24.70) при подстановке в них этой формы и при усреднении с помощью оператора М. В основном в при-
t
ложениях вышеизложенной теории возмущений используется главным образом первое и иногда также второе приближение. Высшие приближения применяются редко ввиду быстрого возрастания сложности их фактического построения.
В качестве примера, иллюстрирующего изложенную теорию, рассмотрим колебания физического маятника, представляющего собой твердое тело, которое может свободно вращаться в определенной вертикальной плоскости вокруг своей точки подвеса. Пусть точка подвеса совершает в вертикальном направлении синусоидальные колебания с малой амплитудой а и высокой частотой w таким образом, что *)
и)><«о^;т« 1- (24-74)
Как оказывается, неустойчивое верхнее положение равновесия маятника может сделаться устойчивым.
Чтобы рассмотреть это интересное явление, составим уравнение колебаний маятника с вибрирующей точкой подвеса. Считая затухание пропорциональным скорости, имеем**):
<1Щ , , М , g— а<о2 sin wt . й „ /п,
7F + +------г-----sin 9 = °’ <24-7й)
где б —угол отклонения, отсчитываемый от нижнего положения равновесия; у = a sin mt — вертикальное перемещение точки подвеса; X —коэффициент затухания. В отношении величины затухания допустим, что при фиксированной точке подвеса движение маятника при малых отклонениях от нижнего положения равновесия имеет колебательный характер. Тогда, как известно,
^О2. (24.76)
Чтобы выявить в рассматриваемом уравнении (24.75) малый параметр, целесообразно ввести «безразмерное» время. Именно, вместо времени г, измеряемого в секундах, введем время х, для которого едини-
цей измерения будет отнесенный к 2тс период колебаний точки подвеса,
*) Здесь I — приведенная длина маятника, ю0 = у -I— собственная частота малых колебаний.
**) В самом деле, уравнение колебаний маятника с покоящейся точкой подвеса, как известно, будет:
d29 dd а
^+^+Tsine=0’ (а)
