Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 105

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 138 >> Следующая

А
частота малых колебаний маятника будет (о^ = 14,2 —— , тогда как
-1
в случае покоящейся точки подвеса эта частота равна wv = 4,94
сек
Эффективная восстанавливающая сила увеличивается здесь в
= 8,2 раза. Эта сила при малых отклонениях будет, следовательно, такой же, как у соответствующего обычного маятника, в 8,2 раза более тяжелого.
Заметим, наконец, что уравнение первого приближения (24.86) дает нам возможность рассматривать вопрос об устойчивости не только при малых отклонениях, но также и при больших.
Перейдем к исследованию колебаний маятника во втором приближении. Нетрудно убедиться, что уравнения второго приближения совпадают с уравнениями первого приближения.
§ 24] УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 313
Поэтому при построении второго приближения будем исследовать другой возможный тип движения маятника. Оказывается, что маятник может синхронно вращаться с угловой скоростью ш, затрачивая работу на преодоление сопротивлений, если только последние не превзойдут известной величины. Здесь возможны колебания оси маятника около оси, вращающейся равномерно с угловой скоростью, точно равной ш.
Чтобы несколько упростить выкладки, исключим действие силы тяжести, допустив для этого, что движение маятника совершается в горизонтальной плоскости.
Тогда, положив в уравнении (24.79) к = 0, получим:
+ 2га ^ — в sin t sin б = 0. (24.89)
Угол б измеряет отклонение оси маятника от некоторой неподвижной оси, и так как предполагается исследовать колебания маятника
около оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью и>, то целесообразно ввести вместо угла б угол ф:
ф = б — Ы,
или для безразмерного времени х, использованного в уравнении (24.89),
ф = б — х.
Очевидно, что для угла ф уравнение колебаний будет:
g- + 2га ^ - s sin х sin (ф + х) + 2га = 0. (24.90)
Для приведения этого уравнения (24.90) к стандартной форме положим
Ф = Ф, ^ = (24.91)
В результате получаем два уравнения первого порядка относительно неизвестных ф и v:
—- = l/Tv dx V ’
-J- = |/isin X sin (Ф fx)-2 |/Га-2 ()/T)2av, (24.92)
в которых за малый параметр может быть принят ~\f е.
Так как
1 1 sin х sin (ф-f х) = у cos ф —cos (ф + 2х),
улучшенное первое приближение (второе приблиишние) будет:
ф = ф, * = 9-^сов(ф + 2х) = {2-^8т(ф + 2х). (24.93)
Подставляя (24.93) в правые части уравнений (24.92) и выполняя усреднение по х с постоянными ф, Q, приходим к уравнениям второго приближения:
]
г- 1- (24.94)
— = cos ф — 2 уТа, — 2eaQ, j
314
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
[ГЛ. V
ИЛИ
? + 2-?-^ + 2«-0.
Если возвратиться к времени t, измеряемому в секундах = t
то полученное уравнение второго приближения может быть представлено в виде
4r+x2L-!,“5t+,'»=0- <24'95>
Заметим, между прочим, что в принятых обозначениях уравнение первого приближения было бы
с°8ф-т-^ = °. (24.96)
Оно отличается от уравнений второго приближения отсутствием в нем
члена X ^ вызывающего затухание колебаний.
Рассматривая уравнение второго приближения, видим, что оно
допускает квазистатические решения
Ф = Фо» гДе cos фо = Хо), (24.97)
соответствующие вращению маятника (0 = mt + ф0) с постоянной угловой скоростью со, если только
Хш < ~ . (24.98)
При
Хи> > ~ (24.99)
такие квазистатические решения невозможны.
Для исследования устойчивости квазистэтических решений (24.97) в случае (24.98) рассмотрим малые отклонения ф от ф0:
ф = ф0 + 5ф.
Для малых отклонений уравнение (24.95) дает:
+ Х 5 + ^- sin ф03ф = 0. (24.100)
Исследуя соответствующее характеристическое уравнение
¦ р2 + ^ + ^-8тфо = 0, (24.101)
убеждаемся, что ввиду положительности коэффициента X при sin ф0 > 0 вещественные части корней этого уравнения отрицательны; при
аа>2 , „ г, «
sin ф0 < 0 это уравнение имеет корень с положительной вещественной частью.
Итак, решение (24.97) является устойчивым при втф,, > 0 и неустойчивым при sin ф0 < 0. Имеем, следовательно, одно устойчивое квазиста-тическое решение 0 < ф0 < тс и одно неустойчивое тс < ф0 < 2тс.
§ 25]
СЛУЧАИ БЫСТРО В РАЗДАЮЩЕЙСЯ ФАЗЫ
315
Заметим, что если бы мы ограничились рассмотрением уравнения первого приближения (24.96), то в (24.100) не было бы члена X ^ и характеристическое уравнение имело бы вид
л , й(0 • . у-,
r + ~2f sin = °-
Следовательно, при sin > 0 его корни оказываются чисто мнимыми, с вещественной частью, равной нулю, и вопрос об устойчивости неясен.
О возможности таких случаев было упомянуто выше. Как видим, при рассмотрении второго приближения вещественные части корней характеристического уравнения отличвы от нуля, и поэтому возможно выяснить вопрос устойчивости.
Скажем в заключение несколько слов по поводу условия существования квазистатических решений (24.97).
Заметим, что если / обозначает момент инерции маятника, то /Хш представит, очевидно, момент сил сопротивления для маятника, вращающегося С УГЛОВОЙ СКОрОСТЬЮ О).
Умножая на ш момент сил сопротивления, получим мощность N, расходуемую на преодоление этих сил:
ЛГ = /Хш».
Условие (24.98) показывает, что для возможности установившегося вращения маятника с угловой скоростью о> необходимо, чтобы мощность, расходуемая на преодоление сил сопротивления, не достигала бы некоторого предельного значения, а именно:
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed