Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
n—i
т 2 ^jtq{F*nCOsm+G*’nSinm}+o(T?)
П, Q
(пфО)
Система уравнений (25.3) после подстановки найденных коэффициентов из (25.7) — (25.10), (25.13), (25.14) принимает вид
dxh
dt
си
= 0 — X 2 "2^7 П /п + @Ь, п 8п} ~
п=1
_____VI ^ I п /"Г _ dGk, п -р \ I
X Zj 2поу X д- «-» а- q> n j *т~
п, <3 (пчЬО)
+т 2 ^ Ч, А..! +4*0’ (25.17)
Qf n (nsjfcO)
n, p, g (пчЬО)
2
x ZJ 2u)2n 3a. lSn 8*
t?, q 4
(n*=0)
—- {e F — / G } +
- lSnx q, n In q, nl I
I J_ VI ^ f dgn r> ^/та Q \
+ \ Zj 2o>n\d-Xqr*" fXq W
-}2iK + 8l! + o(i). (25.18)
n, g (n^O)
Система уравнений (25.17), (25.18) дает решение поставленной в начале параграфа задачи с точностью до величин первого порядка
\
малости включительно относительно параметра -г-. Первая группа урав-нений этой системы (25.17) выражает систематическое движение. Уравнение (25.18) для а выражает «дрожание». Таким образом, систематическое движение отделено от «дрожания» с точностью до членов
порядка .
Рассмотрим в качестве примера движение заряженной частицы в магнитном поле. Эта задача представляет интерес для ряда вопросов теоретической физики.
320
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
[Гл. V
Например, в космической электродинамике шзиикает задача об исследовании траекторий космических частиц в неоднородных полях. Эта же задача возникает в теории некоторых электротехнических приборов, применяемых в радиотехнике, аналогичных магнетрону.
Точное интегрирование уравнений движения заряженной частицы в неоднородном электрическом и магнитном поле затруднительно и в большинстве случаев может быть выполнено лишь численными методами. Однако и это не всегда оказывается практически возможным. В частности, трудности численного счета становятся почти непреодолимыми в том случае, если частица делает за время своего движения большое количество оборотов по ларморовской окружности. Но именно в 9Toii случае можно воспользоваться только что изложепным методом асимптотического приближения, который позволяет обойти трудности при вычислении.
Допустим, что магнитное поле мало меняется на длине ларморов-ского радиуса:
71 ш „ кп
где Ml = — — радиус ларморовской окружности; шц = — — ларморовская
частота, to —скорость частицы в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю.
Тогда заряженная частица движется в основном по спирали вдоль магнитной силовой линии, вращаясь вокруг нее на расстоянии лармо-ровского радиуса, и «дрейфует» в направлении, перпендикулярном к магнитному полю. Воспользовавшись этим обстоятельством, можно построить упрощенные усредненные уравнения для движения центра тяжести ларморовской окружности.
Выполнению условия (25.19) способствуют большая величина и однородность магнитного поля и малая величина скорости частицы. Однако условие (25.19) может быть выполнено и при большой скорости частицы, если поле достаточно велико и однородно, а также при малом магнитном поле, если скорость частицы достаточно мала и поле достаточно однородно.
В данном примере займемся исследованием движения заряженной частицы в неоднородном электрическом и магнитном поле в предположении, что магнитное поле мало меняется на длине ларморовского радиуса.
Уравнения движения заряженной частицы в магнитном и электрическом поле в нерелятивистском приближении имеют вид
(25.19)
еН
(25.20)
Выберем криволинейную систему координат с ортами т0, -с^ т2 в направлении линий магнитного поля и двух к нему перпендикулярных:
§ 25] СЛУЧАИ БЫСТРО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ФАЗЫ
Уравнения (25.20) запишем в виде
dv
dt
dr
dt
321
(25.22)
eH (r)
где a)H = тад ларморовская частота.
Представим уравнения (25.22) в такой форме, чтобы явно выделить вращение частицы с угловой частотой шн. Для этого разложим вектор скорости частицы v по ортам т0, Tj, т2:
v = мт0 + w {тх cos а + -с2 sin а} (v2 = W2 + и2),
(25.23)
где и — параллельная и w — перпендикулярная к полю составляющие скорости.
С помощью (25.23) уравнение (25.22) принимает вид
du , dx0 dw r , ,
Л'о + и-д -г *{‘s1°osa + <easma} +
Г dx, , d'с» • 1 , г • , 1 1
~^W \~dt C0S a + sm a f + — Tl sm a + T2 C°S <*} ;
= F + u)H w {Tx sin a — t2 cos a}. (25.24)
da
dt
Умножая уравнение (25.24) последовательно на -с0, cos a + т2 sin
du dw da
и т2 cos a — sm a, получим уравнения для
du
dt
dw
dt
da
(F-z0) - w |t0 ^ cos a + T0 sin <tj ,
dx n
= (Fti) cos a + (F‘z2) sin a — m (Tj cos a + -c2 sin a) ,
w — — o)Hw + F {t2 cos a — sin a} —
(25.25)
r -if dxn , f d-c, , dx2 . \ 1
• {t2 cos a — Tj sm a} и + w ( cos a 4" sin a ) f •
Имеем:
• w {('CiV) cos a + (”C2V) sin a} (г = 0, 1, 2) (25.26)
Kv) + 'Ч (V7) + ^2 W) = v- (25.27)
dx;
Положим = 0, т. e. будем считать, что магнитное поле не зависит от времени, хотя этого ограничения можно было бы не делать. Тогда с помощью соотношений (25.26), (25.27) уравнения (25.25)
322
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
[Гл. V
принимают вид
gjf- = №) + ^ div *о + К (T0V) <в0 cos а + т2 (t0V) т0 sin а} + +-Y {“Si KV) т0 - *2 (*2V) “So) cos 2а + Т (xiv) ''о + ^2 Kv) т„}sin 2а- (25.28)
^ ™ div <в0 + {(ЯЧЛ - и\ (<s0V) т0} cos а +
+ {(^2) - и2пг (t0V) т,,} sin а - ~ (txV) т0 - т2 (x8V) т0} cos 2а -
