Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 102

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 138 >> Следующая

Чтобы прийти к этой замене переменных наиболее естественным,
по нашему мнению, путем, найдем выражение
ж = Ф(г,$, е), (24.46)
которое для ?, удовлетворяющей уравнению типа
| = вХ0(6)+в^(Е), (24.47)
удовлетворяло бы (24.17) с точностью до величин порядка малости г3. Так как при ?, определяемой из уравнения [первого приближения
выражение
ж = 1Н-е2 (S) = ? + 5)
чфО
удовлетворяет уравнению^(24.17) с точностью до величин порядка малости га, то решение (24.46) будем искать в форме
ж = $ + (*,?) + -JF (t, 6), (24.48)
где F представляется суммами вида
*4*, 5) = 2е1!“^Л5)- (24.49)
Но для (24.48)
зХ (t, х) = гХ (t, k + гХ) + е*.. . = еХ (t, ?) + е^Х |) X (*,?) + е*. . . (24.50)
С другой стороны, при определяемой уравнением (24.47), диф-
ференцированием выражения (24.48) находим:
^=,^-4- дX (t’ ^ d^ 2 dF (*. Ь) № 9ZM)
dt dt dt dt dt
+ e2 Щг1 = sXo (6) + (5) + *2 dJL^r} Xo (6) +
+ e^M) + s2^M+s3...
+ dt ^ dt ^
откуда
J = eX(«, $) + е^($) + еа^^М)х0($) + е2^|^+?з..., (24.51)
так как
Щ$.=Х{1г6)-x0(6).
§ 24] УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИИ 305
Таким образом, выражение (24.50) будет равно (24.51 ) с точностью до величин порядка малости s3, если подобрать находящиеся в нашем распоряжении Р (?) и F (t, ?) так, чтобы было выполнено следующее соотношение:
^1) = (х|)х(г, 6)_^J>x0 (6)-/>(?). (24.52)
Но ввиду того, что
Х(г’ 5) = 2 ТГХч(5); X(t, 6)=2eiv‘Xv(6), (24.53)
1=jto V
мы можем написать:
(I|)X(«,S)-9^|^X0(S)= 2
V', V" (v'^0)
x(xv.|)xv.(6)-2 ^T^Xo(5), (24.54)
v^o
где в сумме
s
V', V"
(V'=?0)
суммирование распространено по всем парам (V, V) частот v, фигурирующих в суммах (24.53).
Выражение (24.54) можем представить, следовательно, суммой вида
(x|)xa,S)-^|^X0(S)= 2 е‘>(фи.(5),
(H=v> V' + v")
и соотношение (24.52) будет выполнено, если принять
7>(6) = Ф0(6)=М {(Х|)Х(*, а)-^%^х0(5)}=м{(х|)х(г, 5)}
И
р(*>$= = ( Х^Х(г,Ъ)-д-*^Х0(1-). (24.55)
Итак, резюмируя, можем утверждать, что при ?, определяемой Сравнением
§ = зM{X(t, %)} + ^М {(х|г)Х(г, $)}, (24.56)
выражение
,----------' и
а; = % + sX (t, 6) + s^X I) X (t, 6) - s* ^ X0 (6) (24.57)
удовлетворяет уравнению (24.17) с точностью до величин порядка е3.
Покажем теперь, что если рассматривать полученное выражение (24.57) как формулу замены переменных, преобразующую неизвестную х, определяемую точным уравнением (24.17), к новой неизвестной 5, то она будет удовлетворять уравнению вида
§ = eM{X(t, $)} + з2м{(х|)х(г, 6)}+8з... (24.58)
306 МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ [Гл. У
Для этой цели продифференцируем (24.57) и воспользуемся для сокращения обозначением (24.55).
Тогда получим:
dx _^!_L I a8P(tJ)95 9l(i,5) a dF (t, 5) _
dt dt $ 35 dt 35 9t dt Эг
41 + *f + 'аж)§+*%а + *',5т1’ f24-59'
где 1 обозначает единичную матрицу.
Но по самому определению интегрирующего оператора имеем:
$зх|Д)+52^|Д) = еХ(^ s)_SM{X(^a)} + s2(l|)x^ ?)-
х0(&)-е*м{(1|)х(М)} ,
31
и потому из (24.59) вытекает: dx f , дХ 2 dF'sdb ,, ,
Л=(Ч1 + 5Ж + 8^ж)ш + еХ(*’У +
Ч. 35 У v 4 35
-eX0(S)-sW|^|)X(^ *)}.
Заметим теперь, что в силу (24.17) это выражение должно быть равным следующему:
eX(t, x) = *X(t, H + eX + S2F) = eX(t, k) + г2 (^Х ^ X (t, h) + es. . . Таким образом, видим, что переменная k удовлетворяет уравнению
! = (1 + «f+.°fy1[«x0(O+
+ *!??|Li)x0(?) + «l{(^J)X(l, S)} +•»...]. (24.60)
Но очевидно, что
г* , „ЭХ _2э^у1 _dx(t,i) _2
и поэтому уравнение (24.60) может быть представлено в форме ’
| = вХ0(5) + е2м{(1|)Х(«, 5)}+з3...,
совпадающей с (24.58).
Итак, если $ удовлетворяет уравнению (24.58), правая часть которого отличается от правой части уравнения (24.56) на величины порядка малости е3, то выражение (24.57) представляет точное решение уравнения (24.17).
Итак, в качестве второго приближения примем:
x = k + eX(t,k), (24.61)
где 5 определяется уравнением (24.56). Иначе говоря, за второе приближение принимаем форму улучшенного первого приближения, в которой ? удовлетворяет уравнению уже не первого, а второго приближения.
§ 24] УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 307
Выражение (24.57), в котором ? определено из уравнений (24.56), назовем улучшенным вторым приближением.
Как мы видели, улучшенное второе приближение удовлетворяет точному уравнению (24.17) с погрешностью порядка малости е3.
Все сказанное непосредственно обобщается и на уравнения типа
d^ = eX(t,x) + s*Y(t, х), (24.62)
в которые входят члены второго порядка малости.
В этом случае уравнения второю приближения примут вид
g = Ш {X(«, ?)} + s*M {Y {t, ?)} + е2М {(х X (t, 6)}, (24.63)
а выражение второго приближения будет:
x = t + zX(t,k), (24.64)
и наконец, для улучшенного второго приближения находим:
X = k + eX(t, k) + e*Y(t,k)i-e*(l^X (t, 5) - е2 ^Х0 (?). (24.65)
Заметим теперь, что
M{sX(t, $ + ?Х) + е2У(г, S + sl)} = .M{eX(*, ?-feX)+S2F(*, ?)} + е» . . . =
( (
= M{sX(i, S) +в2 («,«) +e27(f, ?)} + з3..., (24.66)
и поэтому, так как в уравнениях второго приближения члены порядка малости з3 не учитываются, (24.63) можно записывать безразлично в форме
§ = M{eX(*, $ + зХ) + з2У(г, ?)} (24.67)
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed