Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, если ? удовлетворяет уравнениям (24.36), правая часть которых отличается от правой части уравнения
представляет точное решение рассматриваемых уравнений (24.17). Поэтому можем принять в качестве первого приближения
взяв за ? решение уравнений первого приближения (24.38).
Выражение (24.39), в котором ? удовлетворяет этим же уравнениям, будем называть улучшенным первым приближением.
Подставляя улучшенное первое приближение в точные уравнения (24.17), нетрудно убедиться, что это приближение удовлетворяет им с точностью до величин второго порядка малости.
Как видно, для эффективного построения приближенного решения необходимо предварительно решить уравнения первого приближения, и тот факт, что эти уравнения (так же, как и точные) являются дифференциальными, накладывает определенное ограничение на возможность применения изложенного метода. Однако следует подчеркнуть, что для весьма большого числа практически интересных случаев уравнения первого приближения оказываются гораздо более простыми и поддающимися исследованию. При этом во многих случаях, в которых общее решение не удается получить, можно найти, по крайней мере, важные частные решения, например, соответствующие установившимся колебательным процессам.
Так, например, при п= 1 уравнения первого приближения интегрируются в квадратурах; при п = 2 для их исследования может быть использована известная теория Пуанкаре.
При любом п, если Х0(?) обращается в нуль в некоторой точке ? = ?0; можем рассматривать «квазистатическое» решение
уравнений первого приближения. Для исследования устойчивости этого решения можно поступать обычным образом, составив уравнения для малых отклонений (уравнения в вариациях):
(24.38)
на величины второго порядка малости, то выражение
х — ? -|- еХ (?, ?)
(24.39)
(24.40)
(24.41)
Если все вещественные части корней характеристического уравнения
Det | 1-р-гЩ^- =0 (24.42)
§ 24]
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
303
отрицательны, то рассматриваемое квазистатическое решение оказывается устойчивым. Всякое решение уравнений первого приближения, исходящее из начальных значений, достаточно близких к ?0, будет при t—>00 экспоненциально приближаться к квазистатическому решению. Если хотя бы для одного из корней характеристического уравнения вещественная часть положительна, имеем случай неустойчивости. Может представиться также критический случай, когда все вещественные части равны нулю. Этот случай иногда можно свести к двум предыдущим с помощью рассмотрения высших приближений.
Как показывает улучшенное первое приближение для рассматриваемого квазистатического решения, х представляется в виде суммы постоянного члена и малых синусоидальных колебаний с «внешними» частотами ч. Высшие приближения выявили бы также наличие членов с комбинационными частотами, составленными из частот ч.
Эти заключения, сделанные при рассмотрении приближенных решений, могут быть подтверждены и для точных решений уравнений (24.17) на основе строгой математической теории. Так, в работе [7] показано, что в случае, когда вещественные части корней характеристического уравнения (24.42) не равны нулю, можно установить при весьма общих условиях, что точные уравнения (24.17) имеют почти периодическое решение x = x(t) (с частотами из базиса ч), лежащее в окрестности точки х = ?. Эта окрестность может быть взята сколь угодно малой при достаточно малом s. Указанное почти периодическое решение устойчиво или неустойчиво в зависимости от знаков вещественных частей корней алгебраического уравнения (24.42).
Возвращаясь к уравнениям (24.38), заметим, что по самому определению оператора усреднения
и, следовательно, уравнения первого приближения могут быть представлены в форме
Таким образом, уравнения первого приближения (24.43) получаются из точных уравнений (24.17) путем усреднения последних по явно содержащемуся времени t. При выполнении усреднения ? трактуются как постоянные.
Этот формальный процесс, состоящий в замене точных уравнений усредненными, называется иногда принципом усреднения.
Как убедимся далее, для обоснования принципа усреднения не требуется, чтобы X(t, ?) могла быть представлена суммой (24.18); существенным здесь является лишь существование среднего значения
Следует заметить, что в той или иной форме принцип усреднения уже давно применялся для получения приближенных решений. Так, еще в методе «секулярных возмущений», разработанном основоположниками небесной механики, применялся по существу тот же принцип усреднения. Однако проблемой обоснования этого принципа стали заниматься лишь в сравнительно недавнее время.
Х0(?) = М{Х (*,?)}
§ = гМ{Х (*,*)}.
(24.43)
т
(24.44)
304 МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ [Гл. V
Перейдем теперь к построепию второго приближения.
Заметим, что при построении первого приближения путем замены переменных (24.31) уравнения (24.17) были преобразованы к виду
g-*Х.(6) + -*...
- Для получения второго приближения найдем аналогичную замену переменных, преобразующую переменную х к ?, удовлетворяющей уравнению вида
g = *X0(6) + e*i>(6) + e»... (24.45)
