Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
импульсом.
Положение частиц (их координаты) в этом ансамбле, напротив, совсем неопределено | урр const и, стало быть, все положения частиц равновероятны. Попытаемся фиксировать хотя бы одну из координат частиц, например у.
Для этого поставим экран со щелью, расположив его плоскость перпендикулярно к направлению распространения волн так, как это было показано на рис. 16. Пусть полуширина щели есть d. Если
*) В работе автора (J. Phys. USSR 2, 71 (1940)) показано, что не существует какой-либо функции распределения, зависящей от (р, х), которая могла ы изобразить квантовый ансамбль. См. также § 46 этой книги.
70
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. II
частица пройдет через эту щель, то в момент прохождения ее координата фиксируется положением щели с точностью до полуширины щели d. Так как импульс вдоль оси OY известен (ру = 0), то на первый взгляд кажете^, что мы определили и импульс ру, и координату у. Однако это совсем не так. В приведенном рассуждении пропущено то обстоятельство, что около щели будет иметь место дифракция: волны будут отклоняться от первоначального направления распространения. Вместе с тем импульс частиц при внесении экрана со щелью изменится и не будет таким, каким он был до внесения экрана.
Среднее значение импульса рц по оси OY останется неизменным: ру = 0, так как дифракция около щели происходит симметричным образом. Оценим по порядку величины возможное отклонение импульса Ару от среднего значения. Если мы будем отклонять луч от оси ОХ, то скоро он займет положение, соответствующее первому дифракционному минимуму (дальше пойдет дифракционный максимум и т. д.). Обозначим угол, образованный осью ОХ и указанным лучом, через а. Тогда наибольшая интенсивность волн будет приходиться на область от —а до +а. Угол а определяется из условия, чтобы лучи, исходящие от двух половин щели цод этим углом, гасили друг друга (разность фаз я). Если длину волны обозначим через Я., то для интересующего нас угла получим известное соотношение
sina = ~. (16.2)
Полуширина щели d есть не что иное, как неточность Ау, допускаемая при измерении координаты у.
Далее, р sin а есть проекция импульса на ось OY. Так как основная интенсивность волн де Бройля падает в область углов от —a до -fa, то при измерении импульса большинство результатов измерения будет лежать в интервале от —р sin а до +р sin а, т. е. разброс измеряемых значений около среднего значения ру = О равен Apv = р sin a.
Так как по соотношению де Бройля р — 2лА/Я,, то, подставляя в (16.2) Ару вместо 2яА sin a/Я, и Ау, мы получим
Ц
Рис. 16. Иллюстрация к измерению у и ру.
Дифракция от щели в экране.
АруАу = пН.
(16.3)
§ 161 ИЛЛЮСТРАЦИИ К СООТНОШЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 71
Это соотношение показывает, что чем точнее определяется положение частиц (чем меньше Ду, т. е. чем уже щель), тем в большей степени становится неопределенным их импульс (тем больше Дру), и наоборот *),
Благодаря дифракции у щели измерение координаты делает неопределенным импульс ру, т. е. после прохождения щели частица оказывается принадлежащей к новому ансамблю, в котором Д-р9 уже не равно нулю.
Другим примером может служить фотопластинка. Мы рассмотрим идеализированную фотопластинку. Суть идеализации, заключается в том, что мы будем отождествлять фотопластинку с системой закрепленных атомов, а ионизацию такого атома — с образованием изображения на фотопластинке. На самом деле, ионизация одного из активных атомов порождает цепную химическую реакцию, приводящую в конце концов к образованию на фотопластинке активного зерна. После проявления это зерно обнаруживается в виде черного «пятнышка», которое и наблюдают на опыте.
Атом можно считать закрепленным, или медленно движущимся около некоторой позиции только в том случае, если он достаточно тяжел 2). Хорошая «идеальная» пластинка должна состоять из бесконечно тяжелых атомов, имеющих к тому же достаточно малые размеры а, так как размеры атома а определяют область, в которой произошла ионизация.
Позднее (§ 51) будет показано, что волновая функция электрона, находящегося в атоме, отлична от нуля в области порядка а = = hi)/ 2fil, где / — энергия ионизации атома, a ja — масса электрона. Величина а равна, по порядку величины, неопределенности в положении электрона в атоме. Следовательно, этот электрон будет иметь неопределенность в импульсе Др л* Ыа. В этом опыте мы не
’) Заметим, что в нашем выводе этого соотношения мы воспользовались тем, что длина волны X, а вместе с тем и полный импульс частицы р не меняются при дифракции. Следовательно, при таком рассмотрении наибольшее значение АРУ есть р, что соответствует частице, движущейся вдоль экрана. Поэтому может показаться, что мы можем, ограничившись точностью Д Ру = р, добиться сколь угодно большой точности в определении координаты у, уменьшая ширину щели. Это, конечно, противоречит соотношению (15.7). На самом деле это не так. Маше рассмотрение приближенно. Оно пригодно при условии, что длина волны % порядка ширины щели. С уменьшением ширины щели характер волнового поля за экраном усложняется. Этому полю уже нельзя приписать определенную длину волны Я так, как это мы делаем. Раэбор этого случая показывает, что соотношение (15.7) остается верным.
