Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
x + dx = x + -~dt = x-{-vxdt9 (15.1)
где т — масса, a vx — скорость частицы.
В статистическом ансамбле частицы могут иметь самые разнообразные импульсы и координаты, но если это ансамбль классический, то в нем всегда могут быть выделены подансамбли и с вполне определенными импульсами, и с вполне определенными координатами. Напротив, такое разложение квантового ансамбля оказывается невозможным, что указывает на совершенно отличное от классического взаимоотношение между локализацией частицы и ее
импульсом. Для того чтобы рассмотреть эту важнейшую особен-
ность микроявлений, мы будем основываться на опытах по дифракции микрочастиц. Основной вывод этих опытов заключен в формуле де Бройля, связывающей импульс и длину волны:
2я/г /1 - оч
Р = ~. (15.2)
Если под % понимать именно длину волны, то, какова бы ни была природа волн, эта величина не может быть функцией координат л:. Выражение «длина волны в точке х равна к» не имеет никакого смысла, ибо по своему определению длина волны есть характеристика синусоидальной волны, неограниченно простирающейся в пространстве (от х — — оо до х — + оо). А, есть «функция» формы волны, а не функция координаты какой-либо точки. Поэтому в (15.2) правая часть не может быть функцией координаты л:. Следовательно, не может быть функцией координаты х и левая часть равенства (15.2), т. е. импульс р.
Подобным же образом нельзя ответить на вопрос: «какова частота колебаний маятника в данный момент времени», так как само определение понятия частоты предполагает, что нужно проследить за многими колебаниями маятника.
Мы приходим к заключению, что коль скоро соотношение де Бройля (15.2) признается правильным, то импульс частицы р не может
§ 151 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 65
быть функцией координаты частицы х. В области микромира выражение: «импульс частицы в точке л: равен р» не имеет смысла.
Соответственно этому в квантовой области нет таких ансамблей, в которых и импульс и координаты частиц одновременно имели бы вполне определенное значение.
Докажем это важнейшее утверждение сначала для ансамбля, образованного группой воли, рассмотренной в § 7. Как было там показано, группа волн
гр(х, t)= j с (k)e~i{^~kx) dk (15.3)
А’о-Д/г
может быть представлена в виде (см. (7.9))
sin / —xW~|
гр (л*, t)~2c(k0)—---------—- *о*)в (15.4)
ikl~x
Интенсивность | 'ф |2 в такой группе волн для некоторого момента времени t изображена на рис. 15. Удвоенное расстояние от точки
Рис 15. Интенсивность | ф [- в группе волн как функции х для некоторого момента времени t.
максимума | ф ]2 до первого минимума мы можем принять за меру, определяющую размеры группы. Обозначим его через 2Д*. Из (15.4) следует, что Ах — я/ДА. Иными словами,
Дх-Д А —я. (15.5)
Эго чисто волновое соотношение, справедливое для любых волн, показывает, что произведение линейных размеров группы волн Дх па интервал волновых чисел ДА тех волн, из которых построена ] Руппа, есть величина постоянная и равная я.
В частности, если мы желаем послать очень короткий радиосигнал (малое Дх), то неизбежно в нем будут представлены с заметной интенсивностью весьма отличающиеся по длине отдельные моно-
GG
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. II
хроматические волны. Поэтому такой сигнал будет принят приемниками, настроенными на различные волны. Напротив, если мы желаем, чтобы нас принимали приемники, настроенные лишь определенным образом, то мы должны посылать монохроматические сигналы, а стало быть, согласно (15.5), —достаточно длинные.
Возвратимся теперь к квантовой механике. По уравнению де Бройля рх = hk, и поэтому, если k меняется в пределах Д?, то импульс р меняется в пределах
Д px = fihk. (15.6)
Понимая под группой волн (15.3) группу волн де Бройля, умножим па постоянную Планка й уравнение (15.5), тогда на основании
(15.6) мы получим
ДрА.« Д.* = лй. (15.7)
Смысл Дрл. и Дхв формуле (15.7) вытекает из следующего: если мы будем производить измерение координат частиц, находящихся в состоянии, описываемом группой волн де Бройля (15.3), то в момент времени t среднее значение результатов измерения координат
будет ^ = Значения же результатов отдельных измерений будут разбросаны около х преимущественно в интервале ±Дл\ Величина Дл; есть неопределенность в координате х. Если же мы будем в том же состоянии измерять импульс частиц рЛ-, то среднее значение будет равно рх = р0 == М0, и отдельные значения будут сосредотачиваться около р0 в интервале ДрЛ. = ± й >Akx. Величина Дрх
есть неопределенность в импульсе рх.
Поэтому соотношение (15.7) называется соотношением неопределенностей для импульса рх и сопряженной ему координаты х. Это соотношение впервые было установлено Гайзенбергом. Оно является одним из самых фундаментальных следствий современной квантовой механики и показывает, что чем уже группа, т. е. чем определеннее значение координат частиц (малое Дл'), тем менее определенно значение импульса частиц (большое Др*), и наоборот.
Перейдем теперь к доказательству соотношения неопределенностей для любого состояния частицы, описываемого какой-либо произвольной волновой функцией \р. Простоты ради ограничимся одним пространственным измерением; обобщение на большое число измерений совершенно тривиально. Итак, пусть нам дано какое-либо состояние частицы, изображаемое волновой функцией г|э (х) *). Волновую функцию мы будем считать нормированной к единице в области от —оо до +оо.
