Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Вопросам теории квантовых измерений посвящены параграфы 139 и 140 в конце книги, где дано полное освещение этого важного раздела теории.
Г л а в a III
ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ
§ 18. Линейные самосопряженные операторы
Мы видели, что в квантовой области не существует таких состояний, в которых импульс и координата частиц имели бы одновременно определенные значения. Это обстоятельство находит свое отображение и в формальной стороне теории: математический аппарат квантовой механики резко отличается от математического аппарата классической механики, в которой задание пары величии /?, х имеет полный смысл. Переходя к изложению этого аппарата, мыв качестве исходного пункта используем выражения для среднего значения функций координат или импульсов в состоянии яр(лг, у, г), приведенные в § 13. Там мы имели для среднего значения функции координат частицы формулы (13.1)
F (х, у, г) = $я|з* (*, у, z)F(x, у, г)г])(х, у, z)dxdydz (18.1) и для^ среднего значения функции импульсов формулу (13.6)
F(px, Ру, Рг) =
= § ^*(*. У. z)F(—iildx’ ~ind'y' У' z)dxdydz-
(18.2)
Эти формулы принимают совершенно одинаковый вид, если проекции импульса рХ1 ру, рг представить операторами
= py = ~ihi' Р*=°-1ПЖ (18.3)
и соответственно этому обозначению написать (18.2) в виде
F (Рх, Ру, Рг) =
= 5^*(л, у, г) F (Рх, Ру, pz)y(x, у, z)dxdydz. (18.4)
§ 18] ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 85
Таким образом мы приходим к изображению функции от импульса F(px, ру, pz) оператором F(PX, Ру, Рг).
Этот результат подсказывает, что и другие более сложные механические величины L(px, ру, pZ9 х, у, г), зависящие как от координат, так и от импульсов, также должны изображаться операторами. И в самом деле, оказывается, что все взаимоотношения между механическими величинами в квантовой области могут быть выражены на языке операторов определенного класса. В этом заключается фундаментальное значение введения операторов в квантовую механику.
Чтобы выделить класс операторов, встречающихся в квантовой механике, обратимся сначала к общему определению оператора. Независимо от конкретного вида под оператором L будем подразумевать символ, показывающий, каким способом каждой из рассматриваемого класса функций и(х) сопоставляется другая функция v(x). Это символически записывается в виде умножения и на L:
Lu(x) = v(x). (18.5)
В этом равенстве под L можно подразумевать, например, умножение на x(L = x), дифференцирование по х [L = , извлечение
корня (L = VO и т. п.
Из всего разнообразия мыслимых операторов для изображения механических величин в квантовой области употребляется только один определенный класс операторов, так называемые линейные самосопряженные (иначе — эрмитовские) операторы.
Оператор L называют линейным, если он обладает следующим свойством:
L ”Ь ^2^2) == CiLiii -f- c2Lu2y (18.6)
где иг и и2 — две произвольные функции, а сх и с2 — произвольные
постоянные. Ясно, что корень не является линейным оператором;
в то время как ^ есть оператор линейный.
Это ограничение вытекает из принципа суперпозиции состояний. Свойство линейности оператора, выраженное в (18.6), означает, что применение оператора к суперпозиции двух функций их и и2 равно суперпозиции результатов применения этого же оператора к каждой из функций порознь (L(cxuх + с2и2) = clv1 + с2и2, где v1 = Luly v2 = Lu2), т. e. мы требуем, чтобы применение операторов не нарушало принципа суперпозиции.
Линейный оператор L называют самосопряженным (эрмитовским), если имеет место равенство
$ и* (х) Luo (х) dx = ^u2 (х) L*u* (х) dx, (18.7)
8G изог.рлжпнш: мг.хлничгских величин ОПЬРЛТОРЛМИ [ГЛ. III
где интеграл взят по всей области изменения переменной .v, а и* и и2 суть две произвольные функции весьма широкого класса *). Если переменных много, то dx заменяется uadxdydz...
Значение условия самосопряженности, как мы увидим позднее, заключается в том, что только подчиняющиеся этому условию операторы могут изображать вещественные (не мнимые) физичес-ские величины.
Поясним свойство (18.7) на примере оператора импульса Рх = — ih ^ . Имеем
-J- оо -f-oo
^ и* Рхи, du = — ih ^ и* dx =
— оо —оо
-f-00 -f-oo
= [— ih utЫо]1 “ + ih § «2 dx = ^ и2 Ptu't dx
— oo — oo
(так как tif (± со) = u2 (± oo) = 0). Таким образом, Px есть
лйнейпый и самосопряженный оператор. Видно, что оператор ^ линейный, но не самосопряженный; в самом деле,
4-00 -f* СО + 00
^ u*~dxdx=z~ Ц u*ihdx^+ \ dx- О8-8)
— оо — СО — 00
Имея в распоряжении некоторые операторы, мы можем построить из них более сложные. Способы построения из простых операторов более сложных вытекают из определения самих операторов и могут быть сформулированы в виде несложных алгебраических правил. Рассмотрим два линейных и самосопряженных оператора А и В. Будем называть суммой этих двух операторов такой оператор G, что
Сг|)= Лг|) + Я\|). (18.9)
Символически запишем это в виде
С = А + В. (18.10)
Например, если Л==/^, а В = х, то из (18.9) следует
*) Они должны быть интегрируемы и иметь производные, равные нулю на границах области интегрирования.
