Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае 𠦦= 0 и, стало быть, средняя энергия частицы
р _ Ш* > JL
2ft " 8u/2
Поэтому сжатие ящика требует затраты работы, которая будет неограниченно возрастать по мере увеличения степени локализации частицы (Ах = I -> 0). Отсюда следует, что чем в меньшей области пространства локализованы частицы, тем большей энергией должны они обладать. Опыт подтверждает этот своеобразный вывод квантовой теории. Так, например, электроны в атомах (раз-
*) В литературе часто обсуждают этот опыт как опыт над одной частицей. Между тем от одной частицы можно получить лишь одно рассеяние (после чего она будет принадлежать другому ансамблю), а по одному рассеянному кванту нельзя судить о положении чаешцы (в фокальной плоскости не будет изображения). Правильная математическая теория этого опыта, исходящая in статпаиче-ского толкования гр-фуикцин, была дана Мандельштамом. (Л. И. М а и ле л ь-ш т а м, Лекции по оптике, теории относительности и кванювой механике, «Наука», 1972.)
Рис. 18. Определение координат частиц с помощью микроскопа.
§ 16] ИЛЛЮСТРАЦИИ К СООТНОШЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 75
меры атомных оболочек 10~9 — Ю^8 см) имеют энергию 10—100 эв, а нуклоны в ядрах (размеры ядер ~ 10~13 см) имеют энергию порядка 1 Мэе.
Обратимся теперь к измерению импульса. Рассмотрим прежде всего дифракционный опыт, положенный нами в основу определения импульса. На рис. 14 изображена решетка, первичный пучок i и дифрагированные пучки г, d, ... .
Пусть ширина первичного пучка есть /, а постоянная решетки d. Эффективное для опыта число штрихов решетки будет N = ltd.
Из теории дифракции известно, что такая решетка позволяет разли-
чить две волны X и X + АХ, где
дх = А = х-?. (16.6)
Это есть разрешающая сила дифракционной решетки. Следовательно, наша решетка разделит исходный ансамбль на два ансамбля, например, г и d, характеризующихся двумя различными импульсами, если эти импульсы различаются более чем на
А 2яй ДА, d /tr* ъ
AP = —v- = — T- (167)
Для. того чтобы пучки разделились (условие возможности измерения), мы должны отойти с цилиндром Фарадея на расстояние Ал: (отсчитываемое вдоль пучка г или d), которое больше, нежели //а,
где а — угол между пучками г ud. Поэтому Ар - Ax>2nh у •
Так как d и X одного порядка *), а угол а считается малым, то
Ар • Дх>2яй, (16.8)
т. е. произведение размера пучка Дл: (область локализации частицы) на неопределенность в импульсе Др, обусловленную конечной разрешающей силой решетки, должно быть больше 2пН.
Приведем еще пример определения импульса частиц по частоте рассеянного света. Простоты ради ограничимся одним измерением. Пусть рх есть импульс частиц до столкновения с квантом света, а рх — импульс после столкновения. Частота падающего света пусть будет со, а рассеянного со'. Тогда из закона сохранения энергии имеем
йш - йсо' = {р'х ~ pi). (16.9)
и из закона сохранения импульса
г) При X ;> d вообще не наблюдается дифракция.
76
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
1ГЛ. II
Отсюда находим
о —o' fi (о) 0') /1^ 11\
= (16.11)
, О) —со' , /г (со + ш') па 11/ч
^ = ^5 + ^+ ~~2с.-• (16Л1)
Таким образом, зная со и со', можно определить импульс частицы рх. Однако из этого опыта мы не получаем никаких сведений о местоположении частицы: место рассеяния совершенно неопределенно. Мы могли бы определить это место с точностью Ах, если бы вместо монохроматической волны послали бы ограниченный сигнал шириною Ах. Но в таком сигнале, как мы знаем, существует целый набор частот Akx = ~ ~. В силу этого импульс частиц
был бы определен с точностью до Apx = hAkx = ^-^f так что Арх- А*;>яй.
В заключение рассмотрим еще один опыт, часто применяемый на практике. Допустим, что мы намерены определить импульс нейтрона р путем столкновения его с протоном; импульс протона в исходном состоянии будем считать равным нулю. После столкновения (предполагая центральный удар) получим импульс нейтрона равным нулю, а импульс протона будет равен исходному импульсу нейтрона р (мы считаем массы протона и нейтрона равными). Этот импульс можно измерить, например, с помощью определения искривления следа протона в камере Вильсона, возникающего под действием магнитного поля. Тем самым будет измерен первоначальный импульс нейтрона. Однако в этом опыте ничего неизвестно о месте столкновения. Пользуясь камерой Вильсона, мы, конечно, можем указать это место — это будет начало трека протона, получившего удар. Но, как было выяснено ранее, метод камеры Вильсона позволяет определить положение частицы, а следовательно, и начало трека с максимальной точностью Ах ^ а (а — размеры атома) *). При этом импульс частицы определяется с точностью Ар » й/я, т. е. мы будем знать импульс протона лишь с этой степенью точности. Тем самым будет внесена такая же неточность в определении импульса нейтрона. Для произведения неопределенностей опять получим Ар - Ах ^ Й.
Эти примеры служат иллюстрацией отсутствия противоречий между утверждением о существовании соотношения неопределенностей как следствия общих принципов квантовой механики и возможностями измерительных приборов.
