Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
х) Время t мы можем не выписывать явно, так как все дальнейшее справедливо для любого момента времени.
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
67
Для того чтобы установить соотношение неопределенностей в строгой форме, нам следует прежде всего выбрать меру для отклонения отдельных результатов измерений импульса р и координаты х от их средних значений рх и л*, иными словами, точнее определить, что мы будем понимать под «неопределенностями» Дрх и Ах.
В качестве такой меры мы выберем употребляемые в статистике средние квадратичные отклонения (Дрх)2 и (Дх)21). Эти величины определяются следующим образом. Пусть х есть среднее значение величины х. Если в каком-либо индивидуальном измерении мы получим значение х, то Ах — х — х будет отклонением результата измерения от среднего значения х. Среднее значение этого отклонения, очевидно, всегда равно нулю:
Ах = х — х = х — х = 0.
Поэтому за меру отклонения индивидуальных измерений от среднего берут не Ах, а (Дх)2 — среднее от квадрата индивидуальных отклонений.
Основываясь на этом пояснении, мы можем написать
(Ах)2 = (х — х)2 = х2 — х2, (15.8)
(Арх)* = (рх-рх)*=р'х-р*. (15.9)
Не снижая общности доказательства, мы можем выбрать для дальнейшего подсчета подходящую систему координат. Именно, выберем начало координат в точке х. Тогда х — 0. Далее, пусть эта система координат движется вместе с центром распределения х.
Тогда и рх — 0. В этой системе координат получим вместо (15.8)
и (15.9)
= (15.10)
(Ap^^pl. (15.10')
Согласно (13.1) и (13.11) имеем
+ оо
(Ах)2=х2= $ г|>* (х) х2^ (х) dx, (15.11)
— оо
—}- оо
(Арх)2 = pi = — Ь2 jj i|>* (x) dx. (15.11')
— оо
Hama задача заключается в установлении связи между (Дрх)2 и (Дх)2. Д‘1я этой цели рассмотрим вспомогательный интеграл
+ °°
I(l)= jj \^ + ^-\dx, (15.12)
) Ьеличины |/ (Дд-)г называют «стандартами» или «дисперсией».
3*
68 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. И
где ? — вещественная вспомогательная переменная. Раскрывая квадрат модуля, получаем
'®=1*1 *(ilr'm*4;)*'++S ift*-
— ОО —00 —оо
(15.13)
Обозначая
“Ь°° . _____
Л= $ х21 г|) |2 <?* = (Ах)2, (15.14)
— ОО
-f-00
? = — ^ х-^ (ф*ф) dx = ^ i|>*i|)djc = 1, (15.14')
— 00
— ОО
(здесь произведено интегрирование по частям) х), мы находим
/® = Л|2-В| + С^0. (15.15)
Так как / (|) всюду неотрицательно (при вещественном ?), то это означает, что корни уравнения
/(?) = 0 (15.16)
комплексны. На основании известной теоремы о корнях квадратного уравнения, это может быть лишь при условии, что
4ЛС=г=В2. (15.17)
Подставляя в это неравенство значение А, В, С из (15.14), (15.14')» (15.14"), мы приходим к искомому соотношению для (Арх)2 и (Ах)2:
___________*2
(,Арх)ЦАх)2^^-. (15.18)
Это и есть соотношение неопределенностей в наиболее общем и строгом виде. Вместе с тем доказано, что нет таких квантовых ансамблей, которые обладали бы тем свойством, что среднее квадратичное отклонение для импульса (Арх)2 и для соответствующей ему координаты (Ах)2 одновременно равнялись бы нулю.
Напротив, мы видим, что чем меньше среднее квадратичное отклонение для одной из этих величин, тем больше оно для другой. Отсюда следует, что нельзя придумать такой опыт, который позво-
*) Мы воспользовались также тем, что в силу интегрируемости производные от ^ и сама i|) исчезают при х = ± со.
§ 161 ИЛЛЮСТРАЦИИ К СООТНОШЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 69
лил бы дать физическое определение паре х, рх, ибо зозможность реализации такого опыта предполагает существование таких состояний, в которых одновременно (Дрх)2 = 0 и (Дл:)2 = 0, что противоречит соотношению неопределенности, основанному, в конечном счете, на уравнении де Бройля р == 2пИГк. Вместе с тем манипуляции, применяемые в области значимости соотношения де Бройля (область микромира) для измерения координаты частицы х и ее импульса рх, должны быть взаимно исключающими друг друга: можно рассортировать частицы либо по их импульсам, либо по их координатам 1).
Это выражается в том, что всякая локализация частицы ведет к изменению ее импульса, которое предсказывается квантовой механикой статистическим образом.
Нарушение импульса локализацией делает невозможным применение понятия траектории к движению микрочастиц.
Стало быть, квантовая механика имеет дело с принципиально, новыми объектами, не подчиняющимися классическим законам движения материальных точек.
Само название «соотношение неопределенностей» подчеркивает эту неприменимость: представление «неопределенности» возникает лишь при неправомерном применении классических величин к новым по своей природе объектам.
В следующем параграфе мы приведем иллюстрации этого положения.
§ 16. Иллюстрации к соотношению неопределенностей
Рассмотрим сначала измерение координаты частицы с помощью щели. Исходное состояние будем описывать плоской волной де Бройля г|)р.
Пусть волна распространяется по направлению оси ОХ. Это состояние обладает той особенностью, что импульс частицы имеет вполне определенное значение, именно,
рх = р, Py = Pz = 0. (16.1)
Таким образом мы имеем дело с ансамблем частиц с заданным
