Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Вполне объективный характер носят лишь распределения результатов измерения, возникающие при повторении большого числа тождественных опытов.
Существенно, что в квантовой области мы не можем повторять опыт на одной и той же частице, так как измерение, вообще говоря, может изменить состояние микрочастиц (§ 16).
Поэтому для воспроизведения большого числа (N 1) тождественных опытов необходимо представить себе большое число частиц (или систем), которые независимо друг от друга находятся в одинаковых макроскопических условиях.
Такой набор микрочастиц (или систем) мы будем называть к в а и т о в ы м ансамблем частиц (или просто а н-с а м б л е м).
Если эти макроскопические условия таковы, что они полностью определяют состояние микрочастиц (см. § 28, где дано понятие
60
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. II
полного набора величин, необходимых для определения этого состояния), то состояние таких частиц может быть охарактеризовано одной волновой функцией.
Сам ансамбль в этом случае называют чистым ансамблем.
Все вероятности и все средние значения, вычисляемые из волновой функции, относятся к измерениям в таком ансамбле.
Так, например, утверждение, что вероятность найти координату частицы ,г, лежащей около х', равна | \]5 (х) |2 dx'\ означает,что, производя большое число измерений координаты в серии одинаковых опытов (одно и то же гр!), мы найдем х около х в N' случаях, причем
-^ =!!>(*') j *dx'. (14.1)
Подобным же образом, измеряя в этом ансамбле импульс частиц рх и производя всего М измерений (М 1), мы найдем рх в М' случаях, причем
c(p'x)*dp’x, (14.2)
где с (рх) есть амплитуда в разложении г|? (*) по волнам де Бройлй (ср. § 12).
Зная распределение результатов измерений для * (14.1) и дтя рх (14.2), мы можем вычислить средние значения любых функций F (х), Ф (/?), иапример, среднее значение х, среднее значение рХ9 средние квадратичные отклонения
(Дх)2 — (х — х)2 (14.3)
и
(Ар*)2 = (Рх — Рх)2 (14.4)
И т. п.
Впоследствии мы покажем, что, зная волновую функцию \|>, можно вычислить вероятности не только для х и pXj но и вообще найти вероятности для того или иного результата измерения любой механической величины, свойственной данной частице или
системе.
Совершенно ясно, что из единичного измерения над одной микрочастицей невозможно определить ее волновую функцию. Зная же распределения результатов измерения в ансамбле, можно решить и обратную задачу: восстановить по результатам измерения волновую функцию частицы (конечно, вплоть до общего нормирующего множителя, который всегда остается неопределенным) (§ 79).
Таким образом, не только предсказания квантовой механики относятся к измерениям в квантовом ансамбле, но и, обратно, характер квантового ансамбля может быть определен из измерений.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ АНСАМБЛИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
61
Поэтому состояние частицы (или системы), характеризуемое волновой функцией, следует понимать как принадлежность частицы (или системы) к определенному чистому квантовому ансамблю. Именно в этом смысле и будут употребляться в дальнейшем слова: «состояние частицы», «состояние квантовой системы» и т. д.
Приведем теперь конкретный пример чистого ансамбля.
Рассмотрим рассеяния одного электрона на отдельном атоме. Пусть импульс электрона есть р. Тогда волновая функция электрона Тр (х) изобразится в виде суперпозиции волны де Бройля грр (х), изображающей первичное состояние электрона с импульсом р и волны и (.х), представляющей собой волну, рассеянную атомом так, что
Yp (*) = фр (*) + и(х). (14.5)
Зная рассеянную волну, можно в статистическом смысле предсказать судьбу рассеянного электрона (ср. теорию столкновений, гл. XIII).
Однако каким же образом воспроизвести этот опыт много раз?
Пусть электроны летят с накаленной нити. С помощью диафрагм выделим пучок данного направления и сообщим электронам определенную скорость, прикладывая ускоряющее напряжение. Направим этот пучок в газ и будем наблюдать интенсивность рассеяния электронов для разных углов. Если плотность газа невелика и толщина слоя, в котором происходит рассеяние электронов, не очень большая, то можно пренебречь многократными рассеяниями электрона.
Если, далее, плотность электронов в первичном пучке настолько мала, что можно пренебречь их взаимодействиями, то мы имеем дело сразу с воспроизведением большого числа независимых опытов по рассеянию одного электрона на одном атоме.
Наконец, если скорость, приобретаемая электронами в ускоряющем поле, много больше их тепловой скорости и диафрагмы достаточно хорошо выделяют пучок, то мы можем сказать, что мы имеем дело с электронами определенного импульса р, и следовательно, приписать им волновую функцию грр, которая вместе с рассеянной волной и дает Чхр.
Таким путем мы на практике осуществляем совокупность тождественных явлений, описываемых одной и той же волновой функцией Wp (х)} т. е. чистый квантовый ансамбль. С точки зрения квантовой механики, задание состояния частицы с помощью волновой функции является наиболее полным и исчерпывающим.
В действительности, мы часто встречаемся с другими случаями, когда ансамбль с самого начала содержит частицы в различных состояниях, описываемых различными волновыми функциями г^, ^/г- При этом заданы вероятности Р2, ..., Рп каждого из таких состояний. Такой ансамбль называется смешанным.
