Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
поставим цилиндр Фарадея достаточно далеко от кристалла, то отдельные пучки будут разделяться друг от друга и | -ф (ху у, г, t) |2 сведется к
1Ф(*. У< 2, t) ;2 = ! с (р) '*11})р (дг, у, г, 0|2, (12.2)
Цилиндр ФараЗея
Рис. 14. При ограниченном первичном пучке i отраженная г и дифрагирозгнная d волны пространственно разделяются.
г) Вне пучка с (р) = 0. Таким образом, в отличие от (11.3), рассматриваемые сейчас амплитуды являются функциями координат. Но ввиду медленности изменения они близки к истинным амплитудам Фурье, встречающимся в (11.3).
§ 13] СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЯ ОТ КООРДИНАТ И ИМПУЛЬСОВ 57
где р — такое значение импульса, при котором отраженная волна попадает в цилиндр. Используя значение я|)р (11.2), получаем
\q(x, у, z, t) 12^ (12.3)
Следовательно, | с (р) |2 пропорционально вероятности обнаружить электрон в цилиндре Фарадея, при условии, что он расположен так, чтобы в него могла быть направлена волна г|эр. Такой волне принадлежат электроны, имеющие импульс р. Поэтому величина
I С (Р) I2 пропорциональна вероятности обнаружить в состоянии ^ электрон с импульсом р.
Имея в виду (10.2) и то, что вероятность обнаружить импульс частицы в интервале
Рху Рх ~Ь dpx, Pyt Pu~)~dpy, pz, pz + dpz
должна быть пропорциональна dpxdpydpz, мы приходим к выражению для вероятности
dW (рх, Ру, pz, t) = \c(px, ру, Рг, 0 ,2 dpx dp у йрг (12.4)
и для плотности вероятности
w(px, ру, Рг, t) = \c(px, Ру, Рг, t)\2. (12.5)
Написанные формулы содержат определенный выбор нормировки вероятностей для импульса.
Пользуясь тем, что ср (рХ1 ру, pzy t) есть, согласно (11.6), компонента разложения в ряд Фурье волновой функции ф> (х, у, г, /), нетрудно доказать, что
-Loo -f- со
Jj \ \ с (рх, Ру, рг, 0 ;2 dpx dptJ dp, = \ 1г}> (х, у, z, t) |2 dx dy dz. (12.6)
— СО —СО
Левая часть есть вероятность найти любое значение импульса частицы (достоверное событие), правая часть есть вероятность найти частицу в любом месте пространства (также достоверное событие). Поэтому сделанный выбор нормировки вероятностей целесообразен: вероятности достоверных событий одинаковы. В частности, если вероятность найти частицу в любом месте полагается равной единице, то и вероятность найти любой импульс будет также равна единице.
§ 13. Средние значения функций от координат и функций от импульсов
В предыдущих параграфах мы определили вероятность местоположения частицы (10.3) в состоянии ij: и вероятность импульса частицы (12.5) в этом же состоянии. Это позволяет нам тотчас же написать средние значения любой функции от координат частицы
58 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. II
F (х, у, г) и любой функции от импульса частицы F (рх, ру, рг) для состояния, изображаемого волновой функцией г|). Именно, из (10.3) и (12.5), согласно определению среднего значения случайной величины, имеем
F(x, у, z) = $F(*, i), z)jiH*. у, z) j2 dxdy dz =
= У' z)p(x' У> 2Ж-*> У> г) dx dy dz (13.1)
при условии, что
\\Ц(х, у, z)\*dxdydz=\ (13.2)
И
F(Px, Ру. Рг) = 5 F (Р*> Ру> Р*) I С iPx, Ру, Рг) I2 dpx dpy dpz =
= $ С* (рх, Ру, рг) F (рх, ру, рг) с (рх, ру, рг) dpx dpy dpz, (13.3) если'
\\с(рх, Ру, Pz) I2 dpx dp у dpz = 1 (13.4)
(здесь интегралы взяты по всей области изменения переменных х, у, z или рх, ру, рг соответственно).
Формулы (13.1) и (13.3) допускают весьма важное преобразова» ние, основанное на свойствах интегралов Фурье. Пусть F (л:, у, г) есть целая рациональная функция от х, у, z и F (рх, ру, рг) — целая рациональная функция от рх, ру, рг.
Тогда формулы (13.1) и (13.3) могут быть переписаны в следующем виде 1):
р(х’ У- г)= $ с* Ру> P*)F{inix> ШдУу’ /йа|)х
Хс (рх, ру, pz)dpxdpydpz, (13.5)
F (Рх, Ру, Рг) =5^* (*- У, Z)F (~-1Л4х’ ~ 1П "dj' ~ ini)X
X^(x, уу z)dxdydz. (13.6)
Эти формулы означают, что аргументы функции F следует заменить символами дифференцирования по указанным аргументам, умноженным на ± /А, и выполнить операцию дифференцирования над стоящей позади функцией ty. Так, например, для вычисления среднего значения компоненты импульса рх поступаем так:
F (Рх> ру> Р?) === Рх- Следовательно,
Рх = \с* (рх, Ру, Р;) рхс (рх, ру, pz) dpx dp у dpz, (13.7)
*) Доказательство эквивалентности (13.1), (13.3) и (13.5), (13.6) соответственно приведено в дополнении I.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ АНСАМБЛИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
59
или по формуле (13.6), заменяя рх на —получим
Р* = — jj У, г) ift г) dxdydz. (13.8)
Подобным же образом среднее значение р-х можно вычислить или по формуле (13.3)
pl = \c* (рх, Ру, рг) р\с (рх, ру, рг) dpx dpy dp г, (13.9)
или по формуле (13.6), заменяя F(px) = pl на
Тогда получается
pi = — ft2 § V (х, У, 2) dxdydz. (13.11)
§ 14. Статистические ансамбли квантовой механики
В практической деятельности физика или инженера встречаются два важных типа задач, на которые должна ответить квантовая механика.
Первая задача такова: по волновой функции предсказать возможные результаты измерений над микрочастицей («прямая» задача). Второй тип задачи: по результатам опыта определить волновую функцию частицы («обратная задача»).
Предсказания, вытекающие из знания волновой функции, в общем случае, носят статистический характер. Поэтому если производится какое-то единичное измерение, то результат этого измерения показывает нам лишь, в какой мере оправдались наши ожидания: произошло ли вероятное или маловероятное событие.
