Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
62
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
1ГЛ. II
Очевидно, что величины Рх, Р2, Рп указывают вероятность встретить в смешанном ансамбле соответствующие чистые ансамбли, характеризуемые волновыми функциями г^, гро, ...,
Примером смешанного ансамбля будет являться случай, когда к электронам, покидающим накаленную нить, не приложен ускоряющий потенциал. В этом случае импульс электронов не фиксирован, а фиксирована лишь температура накаленной нити Т.
Первичные электроны будут теперь распределены по закону Максвелла. Вероятность того, что импульс электрона будет лежать между рх, рх + dpx, ptJy ру -1- dpy, pZy pz + dpz, будет
dPp = CerP%№T dpx dpy dpz> (14.6)
где jx — масса электрона, & —постоянная Больцмана, С —нормирующий множитель (^dP=--iy Электроны, имеющие импульс р, будут описываться волновой функцией де Бройля я|5р (лг); поэтому dPp (14.6) есть как раз вероятность того, что электрон будет иметь волновую функцию *фр (лг), т. е. будет принадлежать кч истому ансамблю -фр (лг), являющемуся частью всего рассматриваемого смешанного ансамбля.
Подобный смешанный ансамбль осуществляется в опытах Штерна и Эстермана по дифракции Не на LiF, где распределение импульсов атомов Не в первичном пучке задано температурой печи. Напротив, в опытах Дэвиссона и Джермера мы можем полностью игнорировать тепловые скорости электронов в сравнении со скоростью, приобретаемой ими в ускоряющем поле. Без большой погрешности можно считать, что все электроны имеют один и тот же импульс р. Поэтому в этих последних опытах практически реализуется случай чистого ансамбля, описываемого волновой функцией дрР.
Заметим, что часто при определении исходного состояния частиц вообще не делается никаких измерений, а только предполагается, что имеется тот или иной чистый или смешанный ансамбль. Справедливость сделанного предположения проверяется далее по наблюдаемым и измеряемым следствиям, вытекающим из него.
Поэтому волновую функцию или набор волновых функций (в случае смешанного ансамбля) следует рассматривать как вполне объективную, не зависящую от наблюдателя характеристику квантового ансамбля.
В заключение укажем еще на одно существенное различие чистого и смешанного ансамблей, которое могло остаться незамеченным. Из одних и тех же волновых функций может быть образован как чистый, так и смешанный ансамбль. В самом деле, если даны частные состояния г^, гр2, •••, ..., то из них может быть образована
волновая функция ?, представляющая суперпозицию этих состояний:
(14.7)
СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
63
которая описывает чистый ансамбль. В эту суперпозицию частные состояния входят с определенными фазами и амплитудами (сп = = jc„|e,c4 а„ —фаза).
С другой стороны, если известно, что система может находиться в состоянии i|:, с вероятностью Р,, в состоянии с вероятностью Р2 и т. д., то мы будем иметь дело со смешанным ансамблем, для характеристики которого нужно иметь два ряда величин г)
^......*•....... (14.8)
Ръ Р2, .. • , Рп>
Вычислим теперь вероятность того, что частица находится в точке х. В случае чистого ансамбля получим для плотности вероятности
W (х) = | ? (X) I* = 2 I С"У* w I2 + 2 2 W (*)• (14-9)
пфт т
В смешанном ансамбле эта же вероятность должна быть вычислена гак: вероятность того, что частица будет находиться в точке х, будучи в состоянии 'фя (х), есть | (х) |2. Вероятность же находиться
в состоянии (х) есть Рп. Поэтому вероятность этого сложного события будет Рп | (х) |2, а полная плотность вероятности w (х)
будет равна
и» (14.10)
п
Из сравнения (14.9) и (14.10) мы видим, что в чистом ансамбле имеет место интерференция между отдельными частными состояниями (члены вида ctcm^% (х) (х); в смешанном ансамбле такая интер-
ференция отсутствует).
Таким образом, различие между чистым и смешанным ансамблями в отношении частных состояний аналогично сложению когерентного и некогерентного света; при вычислении вероятностей в чистом ансамбле складываются амплитуды, а в смешанном ансамбле — интенсивности.
§ 15. Соотношение неопределенностей
Мы перейдем теперь к рассмотрению важнейшего свойства квантовых ансамблей — к так называемому соотношению неопределенностей.
Напомним, что в классической механике мы интересуемся траекториями частиц и их движением по этим траекториям.
!) В § 46 пояснен другой способ описания смешанного ансамбля с помощью ^матрицы^ плотности» — величины, аналогичной функции распределения
классической статистической механике.
64
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
1ГЛ. И
Можно было бы думать, что квантовая механика дает некоторое статистическое описание такого классического движения, подобно тому как это делается в классической статистической механике. Простые соображения показывают, что это не так. В области микромира механические величины находятся в иных отношениях, нежели в области макромира, в области классической механики.
С понятием движения частицы по траектории неизбежно связано предположение о существовании у частицы в каждый момент времени определенной координаты х и определенного импульса рх. Первая указывает положение частицы, а вторая величина указывает, как изменяется это положение в течение бесконечно малого интервала времени:
