Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для световой волны вектор-потенциал можно всегда выбрать
так, что divA = 0 и скалярный потенциал V = 0. Таким образом,
поле световой волны будет вычисляться по формуле
* = -т% ^=rotA- (94Л)
Пренебрегая, кроме того, в (27.9) величиной А2 (как величиной второго порядка малости), мы можем написать гамильтониан
(27.9) в виде
?+<' + ?А*’-Й" + ?аА (94.2)
Возмущение (в первом приближении) равно
Г(г, <) = ?а/»--?а?. (94.3)
Представим вектор-потенциал в виде интеграла Фурье
А (г, 0 = S Ао И d(o, (94.3')
где к —волновой вектор1). Тогда компонента Фурье от матричного элемента возмущения, принадлежащая частоте сотл, равна
wmn (сотл) == - ~ А0 (а>тя) ^ I|4etkr Vi|)„ dv. (94.4)
На основании (94.1)
А0 (®отл) = + ^Г- ^0 (®тп) 1.
Winn
где %о((отп)-1 есть компонента Фурье от электрического поля. Поэтому
I Wmn (соия) |2 = ! ё0 (атя) I2 rS- И dv ^ <94’5)
г1 тп • J
Внося это выражение в формулу для вероятности перехода (87.6) и переходя от | <&0 (сот/2) |2 к плотности излучения так же, как это делалось в § 89, мы получим вероятность перехода в 1 сек в виде
Ртп = 'р- I 1 • Отея (к) |2 р (соотп), (94.6)
где
Dm„ (к) = T|)*e'krVii)„ dv. (94.7)
г) Мы будем считать, что направление отдельных частных волн в (94.3') и их поляризации одинаковы.
404 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ II РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
Формула (94.6) вполне аналогична (87.16), и из нее можно получить коэффициенты Эйнштейна Ь”1а, ft”a, апта для случая кор'отких волн.
Различие между (87.16) и (94.6) заключается в том, что в первой формуле Dmn имеет значение электрического момента, не зависящего от характера излучения и определяемого свойствами атомной системы, в то время как вектор Dmn (к) зависит от волнового вектора излучения к. Поэтому коэффициенты Эйнштейна получаются иными, нежели для дипольного излучения (их общие свойства, установленные в § 5, конечно, останутся неизменными). Вместе с тем распределение излучения по углам, его поляризация и зависимость от частоты также изменятся.
Сделанный нами в § 89 вывод о том, что квантовая система взаимодействует с излучением, как совокупность осцилляторов, остается в полной силе и для излучения любой длины волны. Отличие случая длинных волн (Х^>а) от случая коротких волн (Х<.а) заключается лишь в том, что в первом случае квантовую систему можно рассматривать как совокупность диполей с моментами Dmnel(*mnt9 в то время как в случае коротких волн нельзя пренебрегать изменение фазы волны внутри системы, и квантовая система с точки зрения взаимодействия с радиацией уподобляется системе осцилляторов с частотами (о,ля, размеры которых не меньше размеров длины волны. В этом случае уместнее говорить о совокупности токов и зарядов, распределенных в пространстве и зависящих от времени периодически с частотами ютп. Для длинных волн можно пренебречь изменением фазы в пределах атома и разложить eikr в уравнении (94.7) по степеням кг, а именно: eikr = 1 + i (кг) + • • • Так как функции г|?2, и г|?я отличны от нуля заметным образом лишь в пределах атома, то это разложение есть разложение по степеням = ^ —отношения размеров атома а к длине волны Я. Из (94.7) тогда получаем
Dm«(к) = [ 1|&*dv + i г|>?? (кг) Щfndv + ...=
1штп J М-шт/г J
= K>mn+ Dmn + - •. (94.8)
Первый член Dт'п есть
Вд!'“г= S р»~ <94!»
где Vmri — матричный элемент оператора импульса. На основании квантовых уравнений движения имеем
^*тп == 1\^^тпХтп* (94.10)
где хтп есть матричный элемент радиуса-вектора. Следовательно,
D Яп = Отя, (94.11)
§ 94] УЧЕТ ФАЗЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ВОЛНЫ ВНУТРИ АТОМА 405
т. е. при длинных волнах в первом приближении мы получаем из (94.6) формулу (87.16) для дипольного излучения. Если Dmn Ф 0, то следующим членом можно пренебречь. В тех же случаях, когда в силу правил отбора второй член
в (94.8) может и не равняться нулю. При = 0 излучение будет определяться вторым членом Мы сейчас покажем,
что излучение, связанное с этим дополнительным членом, состоит из квадрупольного электрического и дипольного магнитного излучения.
Согласно (94.8) Dтп может быть написано в виде
Dmn = — —— {(kr) , (94.12)
I \х.)тп '
т. е. выражается через матричный элемент оператора1)
(кг)?-(кг)?.
Этот оператор может быть тождественно переписан в такой форме:
(kr) % = \ш ^ rf - У [к [г ш]\ (94-13)
Переходя от операторов к матричным элементам и пользуясь тем, что
где УИ —оператор момента импульса, получим
j {(kr) Р}тп = {(kr) г}тп - ± {[кУИ]}_. (94.14)
к п
Подставляя этот результат в (94.12) и замечая, что------------- --,
(1)тп С
где п — единичный вектор по направлению распространения излучения (следует вспомнить, что А/оо = 1/с, со = сотп), и имея в виду
равенство — ^-М = 20? (ЗЭ1— магнитный момент атома), найдем D'тп = — i -J {(kr) r}mn - [n3R]mn. (94.15)
J) Чтобы избежать путаницы в значении различных скобок, в этих выкладках мы обозначаем (abj —скалярное произведение, [abj — векторное произведение, {L}mn или Lmn — матричный элемент оператора L.
406
ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[ГЛ. XV
Здесь первый член может быть представлен в виде произведения вектора —ik на матричный элемент тензора второго ранга
