Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
р (х) = ±:|^2(i [Е — U (*)]. (96.2)
Знаки ± следует выбрать в зависимости от направления движения частицы. Если энергия частицы Е больше «высоты» барьера Um, то частица беспрепятственно пройдет барьер слева направо, если начальный импульс р> 0, или в противоположном направлении, если начальный импульс 0.
Допустим, что частица движется слева, имея полную энергию ?, меньшую Um. Тогда в некоторой точке х± потенциальная энергия U(x1) = Ei р(х1) = 0, частица* остановится. Вся ее энергия обратится в потенциальную, и движение начнется в обратном
410 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
—Е%
Рис. 76. Потенциальный барьер в одном измерении.
порядке: хх есть точка поворота. Поэтому при E<cUm частица, движущаяся слева, не пройдет через область максимума потенциала (х = л:0) и не проникнет во вторую область х>х0. Подобным же образом, если частица движется справа налево, имея Е < Uту то она не проникнет в область за второй точкой поворота *2, в которой U(x2) = E F>.. (рис. 76). Таким образом, по-м тенциальный барьер является «непрозрачной» перегородкой для всех частиц, энергия которых меньше Um (напротив, он «прозрачен» для частиц, обладающих энергией Е > Um). Этим и разъясняется название «потенциальный барьер».
Совсем иначе протекают явления вблизи потенциальных барьеров, если речь идет о движениях микроскопических частиц в микроскопических полях, т. е. о движениях, при рассмотрении которых нельзя игнорировать квантовые эффекты. В этом случае, как мы сейчас увидим, в противоположность выводам классической механики, частицы с энергией Е, большей высоты барьера Um% частично отражаются от барьера, а частицы с энергией, меньшей Um% частично проникают через барьер.
Для того чтобы в этом убедиться, мы рассмотрим совсем простой случай барьера, изображенный на рис. 77. Именно, мы будем считать, что потенциальная энергия частицы U (х) всюду равна нулю, кроме области где она имеет постоян-
ное значение, равное Um. Такой барьер представляет собой, конечно, идеализацию, но на нем особенно просто можно проследить интересующие нас стороны проблемы. Мы можем себе представить, что такой прямоугольный барьер возникает путем непрерывной деформации плавного барьера, изображенного на рис. 76.
Будем искать стационарные состояния частицы, движущейся в поле такого барьера. Обозначая потенциальную энергию через U (х), мы получим уравнение Шредингера в виде
U
ft
777
0
I
Рис. 77. Самый простой потенциальный барьер.
(96.3)
§ 96] ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ И ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ 417
Обозначая в дальнейшем дифференцирование по л: штрихом и вводя оптические обозначения
= -[E-U(x)]=kln*(x), (96.4)
где п (х) — показатель преломления (см. § 36), мы перепишем уравнение (96.3) в виде
i|/' + Цп2 (х) = 0. (96.5)
Уравнение (94.5) распадается на три уравнения для трех областей пространства:
¦ф" Н-= 0, *<0, U (х) = 0, (96.5')
oJ)" + №(a:)i15 = 0, O^x^l, U(x) = Um, (96.5")
•ф"-|-А:^ = 0, х>1, U (х) = 0. (96.5"')
Решения в этих областях могут быть записаны сразу:
•ф (*) = г)?! (х) = Aeik°x + Ве~ ik«x, (96.6)
ц (x) =ijm (x) = + (96.6')
¦ф (x) = ijjin (x) = aeik°x + be~ik«x, (96.6")
где А, В, a, p, а и b — произвольные постоянные. Однако это — общие решения трех независимых уравнений (96.5), (96.5'), (96.5") и они, вообще говоря, не образуют какой-либо одной волновой функции, описывающей состояние частицы, движущейся в силовом поле U(x). Для того чтобы они давали действительно одну функцию (х), мы должны соблюсти краевые условия, которые мы сейчас установим.
Для этого будем рассматривать U (х) и, следовательно, п (х) как плавную функцию х. Интегрируя тогда уравнение (96.5) около точки х = 0, получим
+а +а
§ i|/'dx + kl J n2(x)tydx = 0.
—д —д
Отсюда
-f-A
a|/(+ A)-\|/(— A) = — k\ I n2(x)ty(x)dx. (96.7)
—д
Переходя к пределу Д->0, получаем краевое условие1)
Ч>'(+0) = !>'(-0). (96.7')
Далее, согласно общему требованию о непрерывности волновых
функций, имеем второе краевое условие
аК+0)=-гИ-0). (96.7")
Точка * = 0 ничем не выделена, поэтому условия (96.7') и (96.7") должны быть соблюдены в любой точке, в частности, и при х = 1.
*) Ср. дополнение VIII.
418 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫН БАРЬЕР [ГЛ. XVI
Чтобы решение (96.6) трех уравнений (96.5) можно было рассматривать как предел решения одного уравнения при переходе от плавного изменения V (х) к скачкообразному, нужно, чтобы эти решения в точках х — 0 и х — 1 удовлетворяли краевым условиям (96.7') и (96.7"), т. е.
Мы имеем четыре уравнения для шести постоянных. Произвол в выборе постоянных объясняется тем, что могут быть волны, падающие на барьер слева, а могут быть — падающие на него справа.
Если мы, например, возьмем А, В ФО, 6 = 0, то Aeik°x может рассматриваться как падающая волна, Be-1'1** — как Отраженная, a acikaX — как проходящая. Если бы мы взяли Ьф 0, то это означало бы, что есть еще падающая волна с другой стороны барьера. Эти возможности соответствуют в классической механике случаям движения частиц к барьеру слева, либо спраза.
Мы рассмотрим для определенности случай падения частиц слева. Тогда мы должны взять Ь = 0. Кроме того, без всяких ограничений мы можем принять амплитуду падающей волны за единицу: А = 1. Уравнения (96.9) принимают тогда вид
