Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из этих алгебраических уравнений находим а, р, В и а:
гЫ0) = Ч>1.(0), tf(0) = 4>h(0), \
'фп (0 = ^iii (0. ’Фи (0 — 'фш (0- J
(96.8)
Подставляя сюда значение функций из (96.6), получаем
А-\-В — а + р, ikо (А — В) = ik0nm (а - Р), aelkonr/il jfe-1 W = oe'V _|_ be~lk,jl,
Н?0Пт (<zelk,,n,nl — $e~tk''tl'nl) = i?0(ae‘V _ be~'k°l).
(96.9)
1 -\-B = а-f- p,
1 -? = n„,(a-p),
(96.10)
Л ^ ikM Z . | у
2e 0 m (1 + «m)
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ И ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ
419
Если энергия частицы Е больше высоты барьера Um, то показатель преломления пт действителен. В этом случае интенсивность отраженной волны | В \2 равна
¦ p., 4(i-^)2sin2(W)
11 ” (1 + «J1 + (1-«m)4-2(l-^)2cos(2Vtm0 '
а интенсивность проходящей волны
1 2 ^пт /пг 1С,Ч
|а| ' (96Л5,) Вычислим по формуле для плотности тока поток частиц
в падающей волне (/„), отраженной (Jr) и проходящей (Jd). Из
(29.6) имеем
/0 = ^-|Л|2=^-( Jr = -^-\B\\ Ja=*bL\a\*. (96.16)
Отношение потока отраженных частиц к потоку падающих
= = = Я (96.17)
называют коэффициентом отражения. Отношение потока проходящих частиц к потоку падающих
7f = W = |0|I = D (9б'18)
называют коэффициентом прозрачности барьера.
Из закона сохранения числа частиц (уравнение непрерывности для тока) следует, что
R + D = 1 (96.19)
(приведенные выше выражения для R и D позволяют непосредственно убедиться в справедливости этого равенства).
По классической механике, если E>Um, должно иметь место R = О, D=l: барьер совершенно прозрачен. Из (96.15) следует, что | В |2 Ф 0, поэтому в квантовой механике R > О, D < 1. Частицы частью отражаются так же, как отражаются световые волны на границе двух сред.
Если энергия частицы Е меньше высоты барьера Um< то по классической механике имеет место полное отражение D = О, /?=1. При этом частицы совсем не проникают внутрь барьера. В оптике такой случай отвечает полному внутреннему отражению. Согласно геометрической оптике лучи света не проникают во вторую среду.
Более тонкое рассмотрение на основе волновой оптики показывает, что в действительности световое поле при полном отражении все же проникает в среду, от которой происходит отраже-
420 ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР [ГЛ. XVI
нне, и если эта среда представляет собой очень топкую пластинку, то свет частично проходит через нее. Квантовая механика в случае Е <Um (случай отражения) приводит к выводу, аналогичному выводу волновой оптики (см. аналогии § 35). Действительно, если Е < Uт, то показатель преломления пт является чисто мнимой величиной (см. (9G.4)). Поэтому мы положим
1 = i ~|/ . (96.20)
Внося это выражение для пт в (96.14), вычислим теперь \а\2. Тогда считая е'оП>п'1 1, получаем
D | а I2 = ¦ ^! Пт I-ё~ 21го\пт\1. (96.21)
(1 -j- | tlm (
Обозначая первый дробный множитель через D0 (он не очень отличается от 1) и имея в виду значение k0, получаем
D = ZV лУ2Нит Е)\ (96 22)
Таким образом, при E<Um, в противоположность выводам классической механики, частицы проходят через барьер.
Явление прохождения через потенциальный барьер получило образное название туннельного эффекта х).
Очевидно, что туннельный эффект будет иметь заметное значение лишь в тех случаях, когда D не слишком мал, т. е. когда
(96.23)
Нетрудно видеть, что с туннельным эффектом мы можем встретиться лишь в области микроскопических явлений. Так, например, для Um~ Е Ю“и эрг (около десяти электрон-вольт), 10“27 г
(масса электрона) и /я^10~8 см, из (96.22) получим D^r1. Но если мы возьмем, например, /= 1 см, то из той же формулы получим Dr^e1()8. Увеличение массы частицы и превышение Um над Е еще более уменьшат D. Подобным же образом можно показать, что рассмотренное выше отражение исчезает с ростом энергии частицы —квантовая механика переходит в классическую.
Формулу (96.22) для коэффициента прозрачности D, выведенную нами для прямоугольного барьера, мы можем обобщить и на случай барьера произвольной формы. Мы произведем сейчас это обобщение простым, хотя и не вполне строгим путем.
Пусть мы имеем потенциальный барьер U (х), изображенный на рис. 76. Представим его приближенно в виде совокупности
2) Впервые это явление было рассмотрено Л. И. Мандельштамом и
М. А. Леонтовичем в связи с квантовой теорией ангармонического осцилля-
тора (ср. конец § 67).
§ 971 КАЖУЩАЯСЯ ПАРАДОКСАЛЬНОСТЬ «ТУННЕЛЬНОГО ЭФФЕКТА» 421
прямоугольных барьеров с шириной dx и высотой V (х). Эти барьеры на рисунке заштрихованы. Частица, имеющая энергию Еу вступает в барьер в точке х = хг и покидает его в точке x = x2. Согласно (96.22) коэффициент прозрачности для одного из этих элементарных барьеров равен
(потенциальная энергия U (х) должна быть достаточно плавной, чтобы dx можно было взять достаточно большим). Коэффициент прозрачности для всего барьера должен равняться произведению коэффициентов прозрачности для всех элементарных барьеров. Тогда показатели в формуле для D' сложатся, и мы получим1)
§ 97. Кажущаяся парадоксальность «туннельного эффекта»
Прохождение частиц через потенциальные барьеры представляется на первый взгляд парадоксальным. Эту парадоксальность усматривают в том, что частица, находящаяся внутри потенциального барьера при полной энергии Е, меньшей высоты барьера Um,
