Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
^ (95.9)
Это есть уравнение Эйнштейна для фотоэффекта на атоме. Для того чтобы получить окончательное выражение для Р0(Е, 0, ср), необходимо вычислить матричный элемент (95.6). Для этой цели необходимо знать волновую функцию исходного состояния г|)0 н функции непрерывного спектра typxptpv. Допустим, что мы интересуемся фотоэффектом с ЛГ-оболочки (тогда —Е0 = 1 есть ионизационный потенциал АГ-оболочки). Эта оболочка расположена близко к ядру атома, и поэтому (пренебрегая взаимодействием двух /С-электронов) можно взять для функцию нижнего
951
ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
409
уровня Е0 для движения в кулоновском поле. Это будет (я=1, / = m = 0)
Zr
Z3 \v. “ ц
ла*
(95.10)
Ч
где Z —номер элемента, а а —радиус первой боровской орбиты.
Такая функция будет весьма близко аппроксимировать истинную. Мы ограничимся весьма грубым приближением для функций непрерывного спектра. Именно, мы будем попросту пренебрегать изменением плоской волны вблизи атома благодаря действию его поля и соответственно этому вместо точной функции возьмем невозмущенную действием атомного поля плоскую волну
ЛРхХ + РуУ + Рг*)
(95.11)
Рис. 74. Расположение векторов Aq, к и р при фотоэффекте.
(2яЙ)3/!
(нормирована по р к 8-функции). Такое приближение мало годится для точного расчета, однако все же в нем еще сохраняются существенные черты явления. Оно будет тем лучи!е, чем больше энергия фотоэлектрона, т. е. оно пригодно для Е^> — Е0 = 1. При таком предположении о функциях непрерывного спектра матричный элемент (95.6) может быть вычислен без большого труда. Подставляя (95.10) и (95.11) в (95.6), мы получим 0 “
= ———Цг(—) U ^ n^A0(ve °)dxdydz. (95.12)
2цс (2яй)/г UW J
Пусть волна распространяется по направлению оси ОХ, а электрический вектор (поляризация) направлен по оси OZ. Тогда ОХ есть направление вектора к, а 02 —вектора А0. Тогда А0 = 0, 0, А0, и, следовательно,
WB
' РХРУР/- 0 -itie
1
Z*\
V*
АсегЫ>1.
a J г
Zr
а dxdydz.
(95.12')
2fxc (2лП)^г \na3J
Расположение векторов к, р, А0 дано на рис. 74. Для выполнения интегрирования в (95.12') возьмем вектор Йк —р за полярную ось сферической системы координат 0, Ф.
410
ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[ГЛ. XV
Если ось OZ в этой системе имеет углы ©', Ф', то
z — (г) - = г cos (OZ, г).
Косинус угла между OZ и г, если вектор г имеет сферические координаты 0, Ф, будет равен
cos (OZ, г) = cos © cos 0' -f sin 0 sin 0' cos (Ф' — Ф).
Угол между ftk — p и г есть 0. Поэтому (95.12') можно записать в виде
W
ihe
1
р р р : 0 :
Щг/'А А 7
2(.(с (2яй)3''2 \ла3) 0 а ’
(95.12")
где
Я 2я
Р I Zr
1 ГСО50------
г* С* l к I т с
/ = V г2 dr V \ dQ d<P sin 0 е I п I a [cos 0 cos 0' +
0 0 0
+ sin 0 sin 0' cos (Ф' — Ф)]. (95.13)
Интеграл по Ф от со5(Ф — Ф') дает, очевидно, нуль, поэтому
J = 2л cos 0' ^ г2 dr jj d0 sin 0 е
о о
i k— г cos0-
Zr
к--2-К п
а cos0. (95.13') г через q, мы
Zr
Вводя переменную ? = cos0 и обозначая получим
00 +1
/ = 2л cos 0' ^ г2 dr ^ I d\eq% а о —1
и, выполняя здесь простые интегрирования, найдем окончательно
J = cos 0' ¦
8л/ k—E. K n
U2 k—H-K n IT
(95.13")
Остается выразить cos©' через углы в той системе координат, где за полярную ось принято направление распространения света (ось ОХ, вектор к). Пусть угол между плоскостью, образованной
векторами р и к-| и плоскостью ZX, будет ср (см. рис. 74).
Угол между Ш и hk — р пусть будет 0'. Обозначая еще угол между ОХ и р через 0, мы получим из сферического треугольника со сторонами 0', 0' и —¦
cos 0' = sin 0' cos ф
§951
ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
411
и из треугольника со сторонами Ш, р, Ш — р
sin 0' = sin б •—р
Поэтому
7 = sin0cos(p-
|Йк —р| Snip
•IS+M1T
На основании (95.12")
(95.14)
«W0 -=
—- Sne
2цс (2лft)3/2 \ла?)
Далее,
* [f ¦H‘-iO
sin 9 cos ф. (95.15)
р2
Из закона сохранения энергии (95.9), считая, что |-^>/(это— условие применимости нашего приближения), мы найдем
2|ic
Обозначая через v скорость электрона получаем Hk — ^p и, стало быть,
* Р'1
»V-7cose + &
Мы оперируем с нерелятивистской теорией, поэтому пригодность наших формул ограничена не только со стороны малых скоростей (|к>2/2^>/), но и со стороны больших. Необходимо, чтобы скорость фотоэлектрона была значительно меньше скорости света с. Поэтому членами порядка v2/c2 следует пренебречь (учет их находится за пределами применимости нерелятивистской теории). Поэтому
<95Л-6>
Заметим, что мы еще можем отбросить член Z2/a2 по сравнению
тельно,
В самом деле,
Z2
а2
ft*
2IX Zfye*
f, а а = -2-. Следова-
/Н ~ ft2 2ft2 Но, согласно формуле Бальмера,
-?0 = Л
z%^
2ft2
412
ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[ГЛ. XV
т. е. условие эквивалентно / Таким образом,
имея в виду быстрые фотоэлектроны, мы должны опустить в (95.15) член Z2/a2 в знаменателе.
Подставляя (95.16) в (95.15), мы найдем окончательное выражение для искомого матричного элемента:
WPPD.0 = — — —/г —Л0 ./,,sin0cos<P . (95.17)
vcVnhyl'-W) a p3(i_f_cos0)2
Подставляя, наконец, это значение матричного элемента в выражение для вероятности (95.7), мы получим1)
