Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Сейчас мы рассмотрим свойства матриц Dmn для важнейших случаев и выведем правила отбора для- поглощения и излучения света.
А. Правила отбора для осциллятора
Пусть мы имеем осциллятор с массой (х, собственной частотой со0 и зарядом е. Квантовые уровни Еп такого осциллятора определяются формулой
Еп — Йсо0[ft ~\~ у п = 0, 1, 2, 3, ... (90.1)
Элементы матрицы электрического момента должны равняться
Dmn = ехтпе“лтп< = ехтпе^ <«-»><, (90.2)
где хтп суть элементы матрицы координаты. В § 48 мы вычислили матрицу координаты и нашли, что элементы ее отличны от нуля лишь для т — п± 1. Поэтому мы получаем правило отбора
Dmn^0 лишь при т = п± 1, (90.3)
а соответствующие частоты будут равны а)тп = со0 (т — п) = ± со0, т. е. собственной частоте осциллятора.
ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ДИПОЛЬНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
383
Пользуясь (48.9) и обозначая D0 = ex0 = e 1/ ,
Г И Wo
мы можем
написать матрицу D (/) в гайзенберговском представлении в виде
D(t) =
0 Вф- i(*ot у Г/l 0 .0 D0e~‘W V4* 0 0 ... ?V!'°v °- 0 Dv3k
(90.4)
Таким образом, осциллятор может поглощать и излучать только собственную частоту со0 (так же, как и в классической механике).
Установленное правило отбора справедливо не всегда. Мы должны вспомнить, что наши расчеты взаимодействия со светом базировались на предположении, что длина волны света К гораздо больше размеров системы а. Только при этом условии взаимодействие со светом выражается через матрицу электрического момента. Размеры осциллятора определяются его амплитудой. По
порядку величины они равны j/'Поэтому правило отбора (90.3) применимо лишь при условии
<9о-5>
т. е. для не слишком больших амплитуд колебания.
Следует заметить, что реальные осцилляторы при больших амплитудах колебания (большие п) становятся ангармоническими, и это уже само по себе может служить причиной нарушения простого правила отбора.
Б. Правила отбора для оптического электрона атома
Рассмотрим матрицу электрического момента для электрона, движущегося в поле центральных сил. В этом случае волновые функции стационарных состояний имеют вид
0, 4>)=Rni{r)P? (cos 0) (90.6)
Нам нужно вычислить матрицу электрического момента относи-тельно этой системы функций. Так как матрицы компонент электрического момента отличаются от матриц координат электрона только множителем —е, то мы будем вычислять эти последние. Кроме того, оказывается удобным вычислять матрицы не от х, у, а от комбинаций
l = x^-iy = r sin 0 * ц = х — iy = г sin 0 • ? = г. (90.7)
384 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
Пользуясь функциями (90.6), получаем
OQ л 2я '
I п1т,п'1'т'—[ RnlRn'1'Г3 dr ^РТ-Рг Sin2 0 d0[ Ф + 1'Ф^ф,
0 0 о
С° я 2л
Цп1т, n'i'm' — jj RniRn’i'f3 dr ^PfPr' sin2 Q db $ el(">-'»')ф-'фdtp,
0 0 0
со л 2я
znim,n'i'm' = \ RniRn’rr3 dr ^P? P™' sin 0 cos 0 db \ ё <m“ m'> <? dq>.
0 0 0
(90.8)
Интегралы по ф берутся, очевидно, сразу:
2л 2л
$ ei(m_т',Ф±.-Ф^ф = 2ябт' + J е* (»-«')ф ^ф = 2л8т>, т. (90.9)
о о
Вводя обозначения
о
я
§ RniRn'1'Г3 dr— Ini,n'i'> (90.10)
о
j№fsin80d0 = SS'W‘, (90.11)
$ РТР?' sin б cos б d0 = СГ\ (90.12)
о
мы можем переписать матричные элементы (90.8) в виде
^>п1т, п'1'т' — 2я//2/, n'l' * S//' *6m, т'—1* (90.13)
Tl/i/m. п'/'т' - 2Я/Й/. п'1' ‘ SJT' • 6т, т' + 1> (90.14)
Znlm, n'i'm'= nl, п'Г ' Сц' (90.15)
Эти формулы дают нам сразу правила отбора для изменения магнитного числа т. Матричные элементы ? отличны от нуля лишь для m' = m +1, элементы rj для т' ^=т— 1 и элементы г для т'—т. Таким образом, возможны лишь переходы, при которых магнитное число изменяется по правилу
т' — /72 = zt 1 или 0.
Исследуя интегралы Sn™' и Си™', мы можем установить еще правило отбора для орбитального квантового числа /. Для этого следует установить условия, при которых эти интегралы не обращаются в нуль. Рассмотрим сначала интеграл Си™ . Нас интересует
§ 90] ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ДИПОЛЬНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 385
лишь тот случай, когда т' =т:
СТ = 5 PTPr COS 0 sin 0 d0. (90.16)
о
Вводя переменную x = cos0, получим
СТ = 5 РГ (X) РТ- (дг) X dx. (90.16')
—I
На основании свойств сферических функций имеем
хР? (.х) = almPT+1 (х) + blmPT-1 (х), (90.17)
где a!m и blm — некоторые коэффициенты ’).
Имея в виду, что функции РТ ортогональны между собой, и подставляя (90.17) в (90.16'), найдем, что С'Т имеет вид
Си™ — Ctlnfil', Ы-1 + ^toA', I-1> (90.18)
и, следовательно, СТ не равны нулю при V— l± 1.
Подобным же образом для интегралов ST' (90.11) получаем
(при m' — m ± 1)
+ 1
¦>т, /71+1 Г nm± 1
s^m±1 = 5 pp±l (x)Vl -Х2РТ{Х) dx. (90.16")
—l.
Пользуясь формулой для сферических функций2)
(1 -х*у/‘ РТ (X) = almPT-i (X) + pimPT+x (X), (90.17')
получим, ЧТО
= otim6i^lt v + (90.19)
Применяя предыдущую формулу для (1 —х*)1/*РТ'~1(х), подобным же образом найдем
S?:i” “ а/, Г-1 + Р/, Г + 1* (90.19')
Эти формулы показывают, что БТ^'фО лишь для /' = /±1.
Таким образом, мы получаем правило отбора для орбитального квантового числа
Г — I = ± 1. (90.20)
Правил отбора для радиального числа'nr = n — I— 1 не существует. Последнее найденное нами правило отбора показывает,
