Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Wmn(o>mn) = -&(wmn).(\Dmn), (87.9)
где через Ш (сотл) обозначена компонента Фурье от Ш (tf), принадлежащая частоте а»тя, т. е. величина
+СО Т
% К») =2^ § Ш (0 е~‘ЫтП‘ dt = 2я I Ш (0 е~‘Фтп‘ dL (87-10)
—оо 0
Следовательно, вероятность перехода из Еп в Ет, согласно (87.6), равна
^ = §r|?(®m„)MlDmre|2- (87.11)
Квадрат компоненты Фурье электрического поля | % (а>тп) |2 мы можем выразить через количество протекшей за время Т энергии.
TD о ё2 (/)
В самом деле, плотность электромагнитной энергии равна
(знаменатель 4я, а не 8я, так как имеется еще равная электри-
сё^ (t) •
ческой магнитная энергия). Поток энергии равен - 4^— (где
с —скорость света). Отсюда вся протекшая через 1 см2 энергия равна
-foo -foo -foo -foo
E = ~ § P (t) dt = ~ ^ dt J '6 (m) e+iatdco J §* (co')-l'ffl,/?/co'. (87.12)
—oo —oo
Интегрируя сначала по / и замечая, что
-foo
^ ei (и-ш') dt — 2яб (со — со'),
—со
374
ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[ГЛ. XV
найдем, что
-f оо
Е = ^ 2л ^ Ш (со) ‘В* (со') б (со — со') dco dco' =
—ОО
4-00 оо
— Y | ^ (со) |2 dco = 6^ | ^ (со) |2 dco
о
(так как &((о) = &*(—со) ввиду действительности %(t)). Если через Е (со) обозначить протекшую энергию на интервал частоты dco, то
оо
Е = § Е (со) с/со;
о
сравнение с предыдущей формулой дает:
? (со) = с | <? (со) |2. (87.13)
Таким образом,
Ртп = 4-?\Ютп\*Щ^. (87.14)
Количество протекшей энергии Е (со) равно, очевидно, плотности лучистой энергии р(со) на единичный интервал частоты со, умноженной на скорость света и время протекания энергии Т, т. е.
?(©) = р(а>)с7\ (87.15)
На основании (87.14) и (87.15) мы можем определить вероятность ртп перехода из состояния Еп в Ет в единицу времени. Для этого нужно разделить Ртп на время, в течение которого действует свет, т. е. на Т:
п Р тпп
Hmn Т *
С помощью (87.15) находим, что вероятность перехода в единицу времени будет равна
pmn = ^2|lDm„|2p(com„). (87.16)
Обозначив еще угол между вектором электрического момента Dmn и направлением поляризации светового поля 1 через Qmni мы
получим окончательную формулу для ртп в таком виде:
4тг2
ртп = ^ | Dm„ р cos2 0m„p (comn). (87.16')
Из этой формулы мы видим, что для вычисления вероятности
перехода достаточно знать матрицу электрического момента Dm„,
КОЭФФИЦИЕНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ
375
целиком определяющуюся свойствами рассматриваемой атомной системы. К этому важнейшему обстоятельству мы еще вернемся в дальнейшем, а теперь установим связь вычисленной нами вероятности ртп с коэффициентами Эйнштейна, рассмотренными в § 5.
§ 88. Коэффициенты излучения и поглощения
Согласно теории Эйнштейна вероятность поглощения кванта света ftco = Ет — Еп, имеющего поляризацию ос и распространяющегося в телесном угле dQ в 1 сек (см. (5.2)), равна
<ПР« = Ср«(ю, Q)dQ.
(88.1)
Мы же получили вероятность ртп в предположении, что волна плоская, распространяющаяся в некотором вполне определенном направлении. Соответственно этому у нас в формулу для вероятности входит лишь спектральное распределение, а не распределение по углам. Общая связь между ра (ш) и ра (со, Q) есть
Ра И = \ Ра (®. &) dQ. (88.2)
Так как ра(<*>) конечно, а ра(со, ?2) в нашем случае отлично от нуля лишь для одного вполне определенного направления, то плотность pa(o), Q) должна в отношении угла Q носить характер б-функции:
ра к Q) = Pa(<o)6(Q). (88.3)
Интегрируя (88.3) по dQ и пользуясь
(88.1), находим вероятность поглощения в 1 сек для волны, распространяющейся в определенном направлении (без раствора лучей):
^a = ^napa(co). (88.4)
На основании закона сохранения энергии вероятность поглощения кванта света Н(йтп должна быть равна вероятности перехода атома из состояния Еп в Ет, т. е. Wa = pmn. Сравнивая (87.16') и (88.4), находим, что коэффициент Эйнштейна Ь%а для абсорбции света равен
70. Выбор независимых поляризаций 11э 12.
ит _4я2,
Опа — ^2 I
Dтп I2 cos2 е„
(88.5)
Нам нужно теперь подробнее разобраться в значении той или иной поляризации света. Формула для вероятности перехода ртп
376
ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
1ГЛ. XV
(87.16') получена в предположении, что свет поляризован в направлении 1, образующем угол 0тя с направлением электрического момента Dmn. В коэффициентах же Эйнштейна Ъпа индекс а (а =1,2) указывает на принадлежность поляризации к одной из выбранных за независимые 1х или |2. Мы можем без всяких ограничений выбрать в качестве первого направления 1Х (а= 1) направление, перпендикулярное к лучу и лежащее в плоскости луча и вектора Dmn, а в качестве второго 12 (а = 2) — направление, перпендикулярное к этой плоскости (рис. 70).
Полагая 1 = 1ь получаем
где 0тп есть угол между вектором поляризации Dmn и направлением распространения поглощаемого излучения. Из (88.5) тогда получаем
Пользуясь формулой (5.11), определяющей отношение коэффициента спонтанного излучения а"а к коэффициенту индуцированного излучения bma. = bna. (см. (5.7)), мы можем написать вероятность dW'r спонтанного излучения кванта света fto> = Em—En поляризации а в телесный угол dQ в виде
