Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
для света, поляризованного параллельно 12.
Чтобы получить полную вероятность спонтанного излучения при переходе из состояния Ет в состояние Еп, нужно проинтегрировать dW'n по всем направлениям распространения. Производя это интегрирование, получаем
(88.5')
(88.5")
для света, поляризованного параллельно 11( и
dW'r2 = 0
(88.7')
КОЭФФИЦИЕНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ
377
Если уровни Ет и Еп вырождены, то одна и та же частота атп может излучаться путем различных переходов из Ет в Еп. Суммируя (88.8) по всем этим переходам, мы получим полную вероятность излучения частоты сот„ в 1 сек. Мы ее обозначим через
^=w2|d-i2- (88'9>
Величину Апт называют также коэффициентом Эйнштейна для спонтанного излучения частоты (атп> Наряду с Апт вводят соответствующий коэффициент для поглощения изотропного, неполяризованного излучения частоты (атп:
в»=щ~п2 (88Л0)
4л
где сумма взята по обеим поляризациям (а—1, 2) и по всем переходам из уровня Еп в уровень Ет. Величина fn означает степень вырождения уровня Еп.
Интеграл взят по всем направлениям распространения света. Подобным же
образом можно ввести коэффициент Я* для индуцированного излучения
(88Л0,)
т 4я
где /т —степень вырождения уровня Ет. Пользуясь свойствами Ьпта, Ь™а и ата» легко Доказать, что
<88Л1)
• 171 ГП < П П t7l JX С
Величина Ат определяет продолжительность жизни атома в возбужденном состоянии.
Если к моменту времени t мы имеем Nm атомов, находящихся в возбужденном состоянии Ет, то среднее число атомов, спонтанно переходящих в нижнее состояние ?„, будет за время dt равно
dNm— — AmNm dt,
откуда
___t__
Nm = №me~Anmt =№те (88.12)
где
г- <88ЛЗ>
Ат
Из этих формул следует, что хтп есть средняя продолжительность жизни атома в возбужденном состоянии Ет.
Из (88.9) получаем
3^ /«я 141
378 ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. XV
Оценим эту величину для. видимого света ютп^А-1015; Dmn по порядку величины равно —еа, где а —размеры атома, так что | Dmn | 2 • 10~18. Отсюда находим хтп т 10 8 сек, т. е. ття> Ттп =
= —^ Ю^15 сек1).
Вычислим теперь среднюю энергию, излучаемую в 1 сек в элемент телесного угла dQ при переходе т п. Так как при каждом переходе излучается энергия Йсотл = Ет — Еп, то средняя энергия,
излучаемая в угол dQ, будет за 1 сек ^обозначим ее через d
d (f) = dW'Mnn = | Dmn |2 sin2 Kn dQ, (88.15)
а полное излучение за 1 сек получим, интегрируя по всем углам Q:
dE__I pv |2 /оо 1 г*\
dt "3^~ \D™ \ • (88Л6)
Как распределение излучаемой энергии по углам (88.15), так
и полная энергия, излучаемая в 1 сек, совпадают с соответст-
вующими формулами для классического осциллятора, обладающего собственной частотой со0 = (отл и средним электрическим моментом:
jD~f = 2\Dmn\2. (88.17)
Кроме того, и поляризация света такая же, как у классического осциллятора (именно, излучается свет лишь с поляризацией 1Ь см. рис. 66).
Формула (88.12) для числа переходов в нижнее состояние должна быть изменена в том случае, когда возбужденный атом находится в поле излучения, когерентного с его спонтанным излучением. Действительно, согласно теории квантового излучения Эйнштейна (см. § 5), в этом случае будет иметь место дополнительное, индуцированное излучение. В соответствии с формулой (5.3) следует написать вместо (88.12)
dNm = — [Ат + Б," р (со)] Nmdt, (88.18)
где р (со) есть плотность внешнего излучения частоты (о = о)пт. Пользуясь (88.11), получим
dNm = -AnmNM[l+^]dt, (88.19)
где р0 (со) = • Из (88.19) видно, что число излучений сущест-
венно возрастает, если р ((о) р0 (со). Этот эффект усиления света используется в современных лазерах.
*) Именно это обстоятельство позволяет рассматривать возбужденные состояния атома как стационарные (по крайней мере приближенно). Ср. § ИЗ.
§ 89] ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ 379
§ 89. Принцип соответствия
Рассмотрим излучение заряженной частицы (заряд —ё), движущейся согласно законам классической механики. Для простоты ограничимся случаем одного измерения. Период движения пусть
будет т0 = ~~~. Обозначая координату частицы через x(t), мы разложим ее в ряд Фурье
+ СО
*(*)= 2 V4 (89.1)
k — — оо
toft = (o0?, ? = ±1, ±2, .... xk = x±k]
(о0 будет основной частотой, a cok — частотами обертонов. Полагая
(89.2)
мы можем записать (89.1) в форме
оо
*(0 = .S 2 |л:*| cos ((о*/ + фА). (89.1')
k=i
Электрический момент частицы D равен ex(t), т. е.
-(-оо оо
D(t)= 2 = ? 2 I Dk I c°s ы + ф*), (89.3)
k — — 00 k = 1
где
Dk = exk.
Интенсивность излучения частоты щ, его распределение в пространстве и его поляризация определяются членом
DKA = 2\Dk\ cos (со^ + ф*). (89.4)
Средняя энергия, излучаемая таким диполем в телесный угол dQ, равна
_i_<4
4л с3
(?>кл)2 sin2 6 dQ, (89.5)
а полное излучение равно
2<о?
W=='3c3
где
(Окл)2 = 4 | D* |2 [cos (<о4/ + ф*)]2 = 21 Dk |2. (89.7)
Таким образом, мы получаем вместо (89.5) и (89.6)
(dF\ со4
dU) = 2^l^l2sin2°dQ> (89-5')
(89.6')
380
ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[ГЛ. XV
Из сопоставления этих формул с (88.15) и (88.16) следует, что матричный элемент электрического момента Dmn является полным аналогом классических компонент Фурье. Эту аналогию мы можем продолжить, если рассмотрим изменение по времени электрических моментов Dmny взяв их в гайзенберговском представлении. Мы считали Dmn не зависящим от времени и зависимость от времени переносили на волновые функции. Напротив, можно считать волновые функции не зависящими от времени, а зависимость от времени перенести на операторы (матрицы), как это было в общем виде для любой механической величины пояснено в § 42. Тогда мы имеем
