Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
ПОГЛОЩЕНИЕ II ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА
371
поля можно пренебречь1). Действие электрического поля существенно различно, смотря по тому, меняется заметным образом поле Ш (х, /) на протяжении атома или нет. Легко дать критерий, по которому можно различить эти два случая. Пусть падающий свет монохроматичен (или почти монохроматичен), и имеем длину волны, равную Я. Тогда
%(x,t) = %о cos (87.1)
(здесь со0 = 2ясД). Нас, разумеется, интересует поле не во всем пространстве, а только внутри атома. Пусть размеры атома равны2) а. Возьмем начало координат в центре атома. Тогда
в пределах атома фаза волны 2пх/Х меняется на величину
порядка ±2па/Ку и если размеры атома гораздо меньше длины волны падающего света, то изменением фазы внутри атома можно пренебречь, так что в каждый момент времени поле внутри атома может быть описано выражением
Ш(Х, t) — S0 cos (юоО (87.1')
и, следовательно, одинаково во всех точках пространства внутри атома. Условие малости размеров атома в сравнении с длиной волны соблюдается в широких пределах (при Х^>10~8 см) (а^ 10~8 см). Ультрафиолетовый и видимый свет имеют длины волн, в тысячи раз больше 10~8 см, так что условие %'^а для такого света вполне соблюдено. Иначе обстоит дело в области рентгеновских лучей, так как в этой области длина волны далеко не всегда превосходит размеры атома3). Задача о действии таких лучей в этом случае сложнее. Мы начнем с рассмотрения первого случая, когда длина волны гораздо больше размеров атома. При этом мы освободимся от частного предположения о монохроматичности света, считая все же, что встречающиеся в спектре длины волн велики в сравнении с размерами атома. Внутри атома будет тогда действовать электрическое поле света, одинаковое на всем протяжении атома, но зависящее от времени, обозначим его через
? = ?(/); (87.2)
х) Сила, действующая на электрон со стороны магнитного поля, есть сила
Лоренца F =-^-[у<9^], где v —скорость электрона, с —скорость света. Сила
действия электрического поля есть е%. В световой волне Ё и 3*6 одинаковы, поэтому действие магнитного поля в v/c раз меньше. Скорости электрона в атоме в 100 раз меньше с, поэтому магнитное действие в 100 раз слабее.
2) а есть радиус области, где волновые функции заметно отличаются от 0.
3) Часто интересуются действием рентгеновских лучей на внутренние элек-
троны (/(-оболочка). Размеры /(-оболочки для элементов с большим атомным
номером гораздо меньше оболочки, образуемой внешними электронами. Это
позволяет расширить область длин волн, для которых можно пренебречь изме-
нением фазы поля.
372
ИЗЛУЧЕНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[ГЛ. XV
При сделанных нами предположениях легко, не прибегая к общему гамильтониану для электрона во внешнем электромагнитном поле, определить вид взаимодействия электрона с электрическим полем света (87.2). Поле (87.2) выводится из скалярного потенциала ф(г, t) = — Шт = —фхх-\-Шуу + ^гг), так что силовая функция для электрона, находящегося в точке г, в этом поле будет равна
W(г, t) = — ey = + e ($r) = — ??D, (87.3)
где D =— ет есть электрический момент электрона, если г есть радиус-вектор, проведенный от ядра к электрону1). Вводя еще единичный вектор 1, параллельный направлению поля JS(/) = l-?(/), мы можем написать (87.3) в виде
W(г, /) = —g(/).(lD). (87.4)
Если через Й° обозначить оператор полной энергии электрона, то уравнение Шредингера для волновой функции ^(r, t) будет
ih ^ =H°^+\V (г, 0 я|). (87.5)
Величину W (г, t) будем рассматривать как возмущение, что оказывается возможным при всех практически достижимых интенсивностях света2).
Мы поставим теперь задачу вычислить вероятность перехода атома под влиянием светового поля с квантового уровня Еп (ф = г1?л) на квантовый уровень Ет (^ = г^). Для того чтобы можно было полностью применить к этой задаче теорию квантовых переходов, развитую в § 84, мы сделаем предположение, что поток света начал действовать в момент времени t = О и был прекращен в момент времени t = T. Если Т гораздо больше периода колебаний световых волн, то такое включение и выключение не повлияет на спектральный состав падающего хвета.
Согласно (84.7) вероятность перехода Ртп из состояния Еп в состояние Ет к моменту времени t, равному или большему Г, выражается в виде
Pmn = Tjt\Wm»(<*mn)\*, (87.6)
где Wmn (о)т„) есть коэффициент Фурье для частоты сот„ от матричного элемента энергии возмущения W (г, /). Согласно (87.4)
2) Направление электрического момента считают от отрицательного заряда к положительному, а вектор г направлен обратно: от положительного ядра к отрицательному электрону.
2) Так, поле солнечного света равно ^0,1 ед. СГСЭ в то время как атом-
ное поле % равно ~ ^ 107 ед. СГСЭ.
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА
373
имеем
Wmn (0 = $ W (Г, t) dV =
= — s (t) ¦ 5 Гт (ID) % dv = - f (0 (lDm„), (87.7)
где Dm/I есть матричный элемент вектора электрического момента, имеющий компоненты
Dmn = — е ^ ГпХ^п dv, Dumn = — е $ ГтУ^п dv, Dmn = — е ^ tfn2Tj)n dv.
(87.8)
Из (87.7) следует, что компонента Фурье от Wmn{t) равна компоненте Фурье от Ш (t), умноженной на — (ID,™) (так как Dmn не зависит от времени). Таким образом, мы получаем, что
