Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из прямых измерений числа рассеянных пробных частиц мы определим дифференциальное поперечное сечение для этого рассеяния: чтобы теперь сделать заключения о волновой функции изучаемой системы, необходимо восстановить амплитуду рассеяния А (О, k).
Мы знаем из приведенных выше обсуждений, что эта задача далеко не всегда допускает однозначное решение. Допустим, что нам все же удалось найти амплитуду рассеяния зондирующей частицы. Тогда вся информация об изучаемой атомной системе содержится в бесконечном наборе фаз: т)о(&), r)i (&),...
которые являются функциями энергии относительного движения зондирующей частицы и изучаемой системы. Но и в этом весьма оптимистическом случае возникает сложная математическая задача восстановления структуры изучаемого объекта по его оптическому изображению, которое теперь считается заданным посредством амплитуды Л(Ф, k). (Напомним,
5 Д. И. Блохинцев
65
что в исходных экспериментальных данных оно задано распределением интенсивностей рассеянных частиц по углам или, что эквивалентно, дифференциальным сечением.) Однако мы хотели бы подчеркнуть, что как бы ни была сложна математическая задача восстановления структуры объекта, она оказывается разрешимой, по крайней мере в некоторых случаях, и тем самым доказывается, что путь косвенного измерения в принципе проходим.
Ввиду того что связанное состояние есть состояние изолированной микросистемы, нам будет удобнее в дальнейшем говорить об изучении структуры атомной микросистемы (мы уже употребили эту терминологию), так как в общем случае изучается не только волновая функция системы, но и характер ее взаимодействия с зондирующей частицей. Восстановление структуры микросистемы по ее изображению будет рассмотрено в следующем параграфе.
§ 9. ВОССТАНОВЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ МИКРООБЪЕКТА ПО РАССЕЯНИЮ ЧАСТИЦ
В основу обсуждения проблемы восстановления структуры микрообъекта мы положим уравнение Шре-дингера для зондирующей частицы. Пусть т — приведенная масса этой частицы (напомним, что если ц. есть масса рассеиваемой частицы, а М — масса рассеивателя, то приведенная масса находится из равен-
1 1 , 1 \
ства — = -jj' + 'jjfу пусть, далее, х есть относительная координата рассеиваемой частицы и центра тяжести изучаемой системы. Тогда уравнение Шредин-гера для волновой функции относительного движения ф(я) (общее движение центра тяжести не представляет интереса) гласит:
—?2ф(л) + К(лЖ-*) = ?ф(х), (9.1)
где V(x) есть функция, описывающая взаимодействие изучаемой микросистемы и зондирующей частицы, а Е — энергия зондирующей частицы. Соответственно поставленной задаче волновая функция должна иметь вид:
$(x) = eikz-\-u(x), (9.2)
5*
67
где eihz — первичная плоская волна, а и(х)—рассеянная волна. Эта волна для больших расстояний r=jjc|->oo имеет вид:
«(¦*),->» = -?7-Л(Л' д); (9-3^
здесь A (k, #) есть амплитуда этой волны, которая по формуле (8.19) определяет дифференциальное сечение рассеяния, т. е. наблюдаемую на опыте величину.
Под восстановлением структуры объекта мы будем понимать определение из данных по рассеянию зондирующей частицы функции взаимодействия V(х). Терминология «структура объекта» имеет оптическое происхождение. Если мы перепишем уравнение (9.1) в виде:
V2i|)(jc) + ?2/i2(jcH(x) = 0, пЦх) = ~—Рх)-, (9.4)
то величину п2(х) можно рассматривать как показатель преломления рассеивающей среды, которую образует наша микросистема.
Рассмотрим случай, когда рассеяние невелико, так что первичная волна мало искажается внутри области, где происходит рассеяние. В этом особо простом случае применимо так называемое борнозское приближение, суть которого состоит в замене в произведении 1/ (лс) -ф (дс) функции if(jt) на первичную, не искаженную рассеиванием волну ty0(x) =eihz. Это позволяет переписать уравнение (9.2) в форме уравнения с заданной правой частью:
= (х) ifo (х). (9.5)
Уравнение для функции Грина уравнения (9.5) имеет вид:
V2© -j- ?2© = — б (лг — х'), (9.6)
а его решение для расходящихся волн может быть записано в форме:
1 Jk\x-x’\
® = -иг-й=РТ* (9-7>
Поэтому решением неоднородного уравнения (9.5) будет
1 9от Г Jk\x-x’ I
« W = — 4^ TF J v ^ ^ ПГ-7'1 Фх'1 (9-8)
68
и при \х—я'|-*оо получаем:
и W “ 1ST IF J V W!gX'd%x’' <9'9)
где q=k' — Лесть изменение волнового вектора при
#
рассеянии. Замети.м, что [ <71 = 2? sin, где ¦О' есть
угол рассеяния между направлением первичной волны и направлением рассеянного луча (см. рис. 6). Сравнение с (9.3) показывает, что амплитуда рассеянной волны равна:
Л(А, b) = A{q) = -^^- J V{x)e4*&x. (9.10)
Отсюда видно, что в борновском приближении амплитуда рассеянной волны попросту равна компоненте Фурье от функции взаимодействия К(а').
Обратимся теперь к восстановлению этой функции по данной амплитуде рассеяния A{q). Амплитуду представим в виде: A (q) =a(q) eia^), где a(q) = ] A (q) |, a a(q) есть ее фаза; далее, отметим, что функцию V(x) мы считаем действительной (отсутствие поглощения, только упругое рассеяние). Тогда чисто формально из Фурье-обращения имеем:
V(x) = -2jp- J A{q)e‘**d% (9.11)
