Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
ф' = ф?га, (8.1)
где а — произвольное действительное число, изображают один и тот же квантовый ансамбль. Поэтому, говоря об измеримости волновой функции, мы с самого начала не будем требовать невозможного (или лучше сказать бессмысленного) и будем подразумевать под измерением волновой функции измерение с точностью до постоянной фазы а.
Чтобы не усложнять обсуждение, будем рассматривать волновую функцию в явном виде как функцию координат л: одной частицы (под х можно также подразумевать относительные координаты двух частиц). Волновая функция является, вообще говоря, комплексной величиной, и мы запишем ее в виде:
Ф(*) = 1Ф(*)|е,в(лг). (8.2)
58
где |г|)(х) | есть действительная амплитуда функции, а 0(лг) —ее фаза. Из опыта по определению средней плотности частиц р (лг) , выполнение которого не встречает каких-либо принципиальных возражений, можно определить амплитуду |г|з(л:)| функции, так как по определению
р(*) = |Ф(-*)12> |ф(л:)|=р(л:)1/а. (8.3)
Далее, помимо средней плотности частиц, можно также измерить и среднюю плотность тока
/=4-pve- (84)
Тогда фаза 0(х) равна:
X
0(*) = -?-J-jfak, (8.5)
*0
где ds — элемент длины, а х0 — некоторая произвольная точка. Этот произвол соответствует произволу в выборе фазы в (8.1). Для определенности мы можем представить себе, что дело идет об измерении р (л:) и
0(х) в атоме или ионе с одним электроном, находя-
щимся в s- или p-состоянии. В первом случае волновая функция сферически симметрична и токи отсутствуют, так что
iH*)=y^), (8.6)
и измерение р(х) дает нам прямо значение волновой функции.
Во втором случае волновая функция в полярных координатах (г, ¦&, ф) имеет вид:
ф(г, &, ф) = Л (г, Q)eimf, т = 0, ±1; (8.7)
при этом два знака фазы соответствуют двум воз-
можным ориентациям атома в магнитном поле; допустим, что посредством магнитного поля установлена одна из возможных ориентаций. Тогда, измеряя
59
р(х), мы найдем модуль функции
А (г, 0)=/р(г, 0), (8.8)
а измеряя магнитный момент атома, равный
М = $т, (8.9)
где ц — масса электрона, найдем и фазу волновой функции 0 = /Пф. Эти простые примеры показывают, что волновая функция может быть измерена.
Приведенный пример измерения волновой функции относится к случаю связанного состояния. Рассмотрим теперь случай рассеяния частиц. Волновая функция в этом случае имеет вид:
ф(л:)==е'*-г+ и(х), (8.10)
где eihx есть первичная, падающая волна (6= 1/Х — волновой вектор для этой волны), а и(х) есть волна рассеянная. Для больших расстояний от точки рассеяния рассеянная волна имеет вид:
Лкг
a{X)=^^T-A{k, Ь), (8.11)
00
A(k, ») = 1)Л(со80), (8.12)
о
где x\i{k) суть фазы рассеянных волн, a P;(cosd) — полиномы Лежандра. Допустим, что мы измеряем опять плотность частиц (можно было бы ближе к практическому исполнению опыта говорить об измерении плотности тока частиц). Эта плотность есть 1^|2 = |^о+и|2 и содержит интерференционный член ф0и*-(-ф*м, который усложняет все дело. Однако от него легко избавиться, если представить себе, что описание падающей волны посредством плоской волны представляет собою абстракцию и строго говоря должен быть взят ограниченный в пространстве пучок (волновой пакет). Тогда наблюдая частицы, рассеянные вдали от первичного пучка, мы избежим интерференции первичных и рассеянных волн (заметим, что эти волны когерентны).
60
В такой реалистической постановке опыта можно непосредственно измерять |ы|2, как это обычно и делается. Итак, опыт дает нам величину
Отсюда находим амплитуду рассеянной волны A(k, ¦&), но увы, без фазы. Действительно, в общем случае A(k, ¦&) = |/1(&, ¦&) | и из измеряемой ве-
личины фаза a(k, ¦&) выпадает.
Дополнительное измерение плотности тока рассеянных частиц ничего нового в этом случае не дает. Действительно, из известной формулы для плотности тока
следует, что j = — \u\2 и, таким образом, / попросту пропорциональна \и\2. Неопределенность фазы порождает серьезную и трудную проблему восстановления фазы из опытных данных [при этом речь идет
о той части фазы a(k, д), которая может зависеть от угла д и импульса k].
Для того чтобы обсудить эту проблему, рассмотрим два частных случая. Пусть сначала среди фаз отлична от нуля только первая фаза (S-рассеяние) В этом простейшем случае получаем из (8.12):
и, следовательно, фаза S-рассеяния определяется с точностью до знака. Таким образом возникает неоднозначность. Эта неоднозначность не является совсем безобидной; за ней скрывается, например, вопрос
о том, действуют ли между частицами силы отталкивания или силы притяжения.
Действительно, фаза г|о связана с потенциалом взаимодействия частиц V{г) (в случае несильного взаимодействия) соотношением [1]
(8.13)
J ==—(a*Va —aVa*)
т v '
(8.14)
\МЬ. ’I) I2 = 4*5- sin2 Ло, sin r|n = ± | A (k, ri) | 2k,
(8.15)
(8.15*)
oc
0
61
[здесь /1/2(2)—функция Бесселя] так, что знак V(г) определяет знак г]о-
Обратимся теперь к более сложному случаю, когда отличны от нуля две фазы, например 5-фаза и Р-фа-за. В этом случае имеем:
|A(k, G)P =
= IF tsin2 ТЬ_Ы2 C0S ('По — Tli) — 2 cos 2tio — 2 cos 2x\x) X
