Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
49
или, имея в виду, что <?Ю(д', д") = з&*(<?', д") = = + (<?'. д"), найдем:
Я д,) ¦ + [&?, р] = 0, (6.8)
где \§6, р] означает квантовые скобки Пуассона
[Л, В] = ±(АВ-ВА). (6.9)
Уравнение (6.8) можно записать в форме
= 0. (6.10)
которая выражает теорему Лиувилля в квантовой механике. Уравнение (6.8) или (6.10) выражают причинность, по самому своему смыслу эквивалентную той, которая выражается уравнением Шредингера (6.2): первая производная матрицы плотности р определяется самой матрицей плотности, т. е. ближайшее состояние определяется предыдущим.
Если от матрицы плотности р(<7, д') перейти к матрице R(g,p), то после несложных выкладок получим следующее уравнение для матрицы R*):
— ¦%’—-Н%?. Я]^4г=0’ (6Л1)
где
R^lh J P + 4)R(q + l, Р)~
— H(q + l,p)R{g,p + г))]. (6.11*)
Разлагая этот интеграл в ряд по степеням h [для этого следует использовать формулу (5.22)], найдем:
00
_dR(q,p) [Я) ^]л=0> (6Л2)
п-1
где
гц г,1 ___ dH dR /с ю\
\П’ к\n дрп dqn dqn дрп (0.10)
есть классическая скобка Пуассона п-го порядка. Если оператор функции Гамильтона И€ равен сумме
*) См. [1—3] к § 5,
50
T(p) + V(q), то в смешанном q, р-представлении матричные элементы оператора &6 попросту равны соответствующей классической функции Гамильтона, т. е.
Н(Ч. Р) = & + У(Я). (6-14)
Поэтому уравнение (6.12) приобретает вид:
___________I у г | у п
dt т dq ‘ дд др ‘ 2т dq2
00
?
п> 2
В этом уравнении первые два члена в точности совпадают с классическим уравнением для плотности р(<7,р) [(4.4) или (4.5)], а следующие члены можно рассматривать как квантовые поправки. Эти поправки зависят от высших производных как самой плотности R, так и потенциала V, при этом входят как производные по координатам q, так и производные по импульсам р. Поэтому эти уравнения могут быть полезны в тех случаях, когда функция плотности является достаточно гладкой функцией в пространстве фаз 'Ji (р, q).
Первые два классических члена в уравнении (6.15) показывают, что движение в классическом приближении определяется скоростью в данном месте plm и „ dV „
силои -щ-, действующей в этом же месте. Следующие квантовые члены указывают на возрастающее значение всей окрестности точки фазового пространства (р, q), причем член с приводит к диффузии
плотности R(q,p) (с мнимым коэффициентом диффу-
зии), а члены типа указывают на то, что
движение ансамбля в квантовой механике определяется характером потенциала не только в данном месте, но во всем пространстве, доступном для частиц ансамбля.
Приведем еще явный вид уравнения для матрицы плотности p(q, q') в координатном представлении.
dnV dnR
4*
51
Для этого заметим, что Матричные элементы оператора Гамильтона -Ж в ^-представлении имеют вид:
И(Я> = -Я') (6-16)
Подставляя это выражение в (6.8) и вводя переменные Q = » 1—Я ~Я'< найдем:
ж^^ + т) - 1/(‘М)]<’- <б17>
Эта форма уравнения движения для матрицы плотности р(<7, q') = p(Q, |) соответствует в классической механике уравнениям движения для Фурье-образа классической плотности p^Q, Р) в пространстве фаз [1]:
Po(Q. 6)= j PK.n(Q. P)e-^"'dP (6.18)
(здесь постоянная ft пока введена чисто формально).
Действительно, переходя в (2.4) ог рКл(Ф, Р) к Ркл(Q, I) и полагая
H(Q, |)= J H(Q, P)e~tlpiHdP, (6.19)
найдем.
J [it//(Q, и) f —(-§Q~~-) —
-иркл(Q, и) дИ%%~~и)] du (6.20) Р2
и, в частности, при H{Q, Р) — -f V(Q) получим из (6.20) и явной форме:
дркл (Q> I) _
dt ~~
_____ги ^WQ.E) | 1 r dV(Q) _ т .
т dQdl + th 1 dQ P^(Q. У- (6.21)
52
Сравнение этого уравнения с квантовым уравнением (6.17) показывает, что уравнение (6.17) переходит в (6.21) при условии, что
dV
dQ
»l2
d3V
dQ3
т. e. если потенциал K(Q) есть достаточно гладкая функция координат Q.
Таким образом, мы видим, что метод описания состояния ансамбля парами точек q, q' в пространстве конфигураций dl(q) может быть введен и в классическую механику.
§ 7. МОЖНО ЛИ ОБОЙТИСЬ БЕЗ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ?
Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шредингера, а также и уравнения матрицы плотности могут быть записаны в форме, которая очень напоминает уравнения классической статистической механики, или уравнения механики роя частиц. Это порождает соблазнительную мысль, которая не раз завлекала исследователей на путь попыток рассматривать квантовую механику как некоторую форму классической механики, дополненную своеобразной «квантовой» силой [1]. Автор этой монографии сам надеялся одно время, что изящные аналогии между уравнениями для матрицы R(q, р) и уравнениями классической статистической физики может быть позволят развить квантовую механику как статистическую механику одновременно неизмеримых величин, т. е. имелось в виду положить в основу теории не волновую функцию, а матрицу R(q, р) — аналога классической плотности ркл(<7, р) в пространстве фаз $l(q, р). Заметим, что все упомянутые попытки так или иначе используют уравнения, которые на языке волновой функции нелинейны относительно волновой функции. В этом обстоятельстве и кроется серьезный подвох для таких попыток.
54
Рассмотрим сначала ту форму уравнения Шредин-гера, которую иногда называют «гидродинамической». В этом случае в основу теории пытаются положить плотность вероятности р(х) = |ч|з(х) |2 и фазу волновой функции 0(л:) =arg\[’(x). Обе эти величины имеют классическую интерпретацию: р(л:) можно рассматривать как среднюю плотность частиц, а — V0(a:) как
