Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
их среднюю скорость в точке х, так что J = Р^б
имеет смысл плотности потока частиц. Однако уравнения для этих величин нелинейны. Действительно, если в уравнение Шредингера
(для простоты мы рассматриваем случай одной частицы) подставить волновую функцию в виде г|з = р/2е>в1Н, то получим два уравнения для р и 0:
?+div(p-i-V0)=O. (7.2)
+ (7'2*>
Оба уравнения могут рассматриваться как классические: первое как уравнение непрерывности для
плотности частиц р и для тока У = —pV0, а второе—как уравнение для функции действия 0. Это второе уравнение совпадает с классическим, если fi2 rv2p , (Vp)2l «квантовый» член — —|—^-J рассматривать как
дополнительный «квантовый» потенциал, зависящий от плотности частиц р и ее производных.
На первый взгляд кажется, что подобная интерпретация уравнений ничему не противоречит, а сами уравнения, как это следует из их вывода, эквивалентны исходному уравнению Шредингера (7.1).
Однако это совсем не так. В квантовой механике фундаментальную роль играет принцип суперпозиции состояний. Согласно этому принципу, если имеются два состояния квантового ансамбля, изображаемые волновыми функциями и фи, то можно
осуществить такую макрообстановку {M=Mi+Mz),
?5
что новый ансамбль будет представляться волновой функцией такой, что
% = ci44+c24V (7-3)
где cj и с2—произвольные числа [при сохранении нормировки |cj |2+ |с2|2=1]. Этот простой и важный принцип не может быть выражен на языке величин р и 0 без того, чтобы не возвратиться к волновой функции.
Еше большее неудобство возникает при формулировке условий симметрии для системы тождественных частиц. Эти условия для волновой функции гласят:
А>,*ф=±ф, (7.4)
где<^\т1 есть оператор перестановки частиц /-й и k-vi, а знак ± выбирается в зависимости от типа статистики (Ферми или Бозе). Это простое условие, которое отличным образом вписывается в линейный ап-
парат квантовой механики, получает лишь крайне неуклюжее отражение на языке функций р и 0. Действительно, пусть мы имеем две одинаковые частицы. Тогда мы можем рассматривать уравнение (7.1) и (7.2) как уравнения для функций, описывающих относительное движение этих частиц, а движение их центра тяжести выделить обычным приемом разделения переменных. Тогда условие симметрии (7.4) переносится на функцию относительного движения (функция, описывающая движение центра тяжести, автоматически симметрична относительно перестановки частиц) и означает, что функция \|;(x) должна быть четной или нечетной при замене х на —х; при этом из условия (7.4) следует, что
р(—х) =p(*), 6(—х) =0(*) +ns, (7.5)
где s = 0, 2, 4, ... или s=l, 3, 5, ...
Если требование к функции р(х) оказывается математически вполне удобным, то второе из требований весьма неказисто, и уж если и искать пути удовлетворения этому требованию, то возвращение к волновой функции и к условию четности или нечетности этой функции есть наиболее прямой путь для соблюдения условий (7.5).
56
Другая форма уравнений квантовой механики, близкая к классической статистической механике, основывается на применении матрицы плотности R(q, р) ¦ Из формул (5.15), (5.16) и (6.12) видна далеко идущая аналогия между уравнениями классической статистической физики и уравнениями для квантовой плотности R(q, р). Однако, как было показано выше (§ 5), матрица R(q, р), в отличие от классической плотности, обязательно имеет мнимую часть, не равную нулю, и поэтому в прямом смысле слова не может быть ни вероятностью, ни плотностью в пространстве фаз Ш (q, р), которые положительно-дефинитные. Как было отмечено, комплексный характер R(q, р) есть выражение принципа дополнительности. Однако могла бы быть надежда рассматривать величину R(q, р) как обобщение понятия плотности вероятности на случай одновременно неизмеримых величин q и р и положить в основу теории эту матрицу вместо волновой функции. Само по себе это ничему не противоречило бы. Однако матрица R(q, р) есть нелинейное образование относительно волновой функции, и поэтому все трудности, которые были отмечены в связи с описанием посредством р и 0, находят свое выражение и в этом случае. В частности, указанная выше трудность с формулировкой принципа суперпозиции состояний (7.3) при использовании величин р и 0 остается в силе и в случае использования матрицы R.
Далее, условия эрмитовости матрицы (5.19) и условия симметрии [в случае тождественных частиц (5.20)] весьма хитро удовлетворить, не прибегая к понятию волновой функции, и, вероятно, в общем виде их можно удовлетворить только на основе понимания R(q, р) как билинейной формы из \|>*(р) и ф(д).
Эти трудности являются общими для всех попыток формулировать квантовую механику на языке величин, нелинейных относительно волновой функции. Волновая функция, будучи изгнана через дверь, влетает обратно через окно: эта настойчивость волновой функции есть выражение того факта, что язык линейной теории есть язык, имманентный самой природе квантовой механики.
§ 8. ИЗМЕРИМА ЛИ ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ?
Мы защитили честь волновой функции, но что соответствует ей в реальности? Можно ли ее измерить, установить ее значение из опыта, скажем, так, как можно измерить плотность частиц или температуру газа? Часто на этот вопрос отвечают отрицательно — ведь волновая функция по самому своему смыслу определена лишь с точностью до постоянной фазы; две волновые функции т|э и т|/, связанные соотношением
