Принципиальные вопросы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
а;^2 ла’/lg^j-, (9.17)
так что при Е^>1
Ng ___ л
Ni ~ at U-
Поэтому невозможно получить четкое изображение атома, если облучать один и тот же атом. Отсюда ясно, что нельзя также и восстановить волновую функцию электрона в атоме, если зондировать один и тот же атом, когда, как мы видим, нет гарантий в том, что в процессе измерения атом не будет ионизован.
72
Заметим, что это не означает, что в принципе невозможно обнаружить отдельный атом, скажем, на предметном столике электронного микроскопа.
Если поставить более скромную задачу — ограничиться констатированием факта наличия атома на «столике», не считаясь с возможными изменениями атома при неупругих процессах, то по крайней мере для достаточно тяжелых атомов можно получить тысячи рассеяний без того, чтобы выбить атом из той позиции,где он был первоначально закреплен (абсорбирован) [2].
§ 10. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Обычная постановка задачи в квантовой механике сводится к отысканию собственных волновых функций -ф(jc, Е) и собственных значений Е оператора Гамильтона $№ (х), который предполагается известным—это прямая задача. Однако можно представить себе другую постановку задачи, когда имеются определенные экспериментальные данные о спектре энергетических состояний системы Е и ее собственных функциях ф(л:, Е) и желательно найти гамильтониан системы еЩл:). Мы видели, как решается эта задача в случае возможности применения борновского приближения. Такую задачу мы будем называть обратной. В последние годы в ряде математических работ [1—4] был найден метод решения этой задачи, который не предполагает использования малости взаимодействия, как это необходимо для применения метода Борна (см. § 9).
Для того, чтобы иллюстрировать этот метод, будем рассматривать задачу рассеяния в s-состоянии
для системы, обладающей гамильтонианом:
Й V*-f </(г). (10.1)
74
Обозначая волновое число через к—УЪтЕ/ь2 и полагая -р- (J (г) — V (г), получим уравнение Шредингера для s-волны ф(г, k):
— jjr + V (г) Ф = ^2Ф с граничными условиями
ф(0,А) = 0, ^kl = k.
СО
Предположим также, что | г | V (г) | dr < М (сходи-
о
мость интеграла).
При г > оо ф(г, k) имеет вид:
k)~A(k)sm\kr-{-b(k)\, (Ю.4)
где Л (А)—амплитуда, a 6(A)—фаза рассеянной волны.
Фаза &(k) есть наблюдаемая величина, так как полное сечение о для упругого s-рассеяния равно
a (k) = sin2 6 (k). (10.5)
Что же касается амплитуды A(k), то она может быть найдена из дисперсионного соотношения*):
+ со
(10.6)
— ОО
Это дисперсионное соотношение легко выводится, если вместо решения cp(r, k) с асимптотическим поведением
(10.4) рассмотреть решение, которое при г—*оо имеет вид:
и (г, ?) = ^Р-*М*»чб(*)1 (10.4*)
*) Здесь мы предположили ради простоты, что в рассматриваемой системе нет связанных состояний. Если такие состояния имеются, то соотношение (10.6) выглядит несколько сложнее (см., например, [2,4]).
(10.2)
(10.3)
75
и граничные условия
И(0, = иЧО, А) = 4- (Ю.З*)
Тогда имеем для величины
= ЩЩе~‘Ьти(-0’ А>* S(k) = e»W = -(10.7)
где S(?) —матрица рассеяния для s-волны.
Из (Ю.7) следует, что
Im \gf(k)~2b(k), (10.8)
и так как f{k) есть аналитическая функция (в случае отсутствия связанных состояний) для Im ?>0 и Relgf(6)=—A(k), то на основании (10.8) путем применения теоремы Коши к контуру, состоящему из бесконечно большого полукруга и действительной оси, с обходом точки k получаем соотношение (10.6).
Решение уравнения (10.2), удовлетворяющее условиям (10.3), может быть представлено в виде:
Г
Ф(г, k) = sin j К(r, t) sin kt ¦ dt, (10.9)
о
где ядро K{r, t) при 0<iO удовлетворяет уравнению дЩг, t) (10.10)
с условиями
т
К (Г, 0) = 0, K{r, r) = i J V (z)dz, (10.11)
о
в чем можно убедиться непосредственной подстановкой (10.9) в (10.2). В силу условий (10.11) потенциал V{г) может быть исключен из уравнения (10.10):
V (г) = 2 —Г) ¦ (10.12)
Однако мы этого делать сейчас не будем, а выпишем решение уравнения (10.10), которое нетрудно получить
76
Методом Последовательных приближений:
К (г, 0 =
г< t r + t Г-t
2 ОО 2 2
i | + I dun J йЧУ(«я-Мя)Х
2
т — t л-1 /¦-/
2 “T"
X J J dvn^V{un_x-\-vn_x)... J V(z)dz. (10.13)
Отсюда можно получить и выражение для произведе-„ дК (г, t) . нии —Ц:
<ж (г, о а/с (г, о , 1,,^+^
¦з^-— —л-+y1/(z14:^)+
r-f LLi
со 2 2
+ Т S J dv”V{J~!r~~^Vn) j rfw«-ix
n — l 0 о
!'
X J^Vi^K-i + Vi)--' j l/(z)rfz. (10.14)
Далее, возьмем производную -d(f k— из (10.9) и заменим в ней -^ рядом (10.14).
Интегрируя по частям, находим:
со
+j 2sin**
Л=»1
Г-t
2
r+t
2
| dvnV + vn) | du„_x X
Г-t
2
X
(10.15)
Образуем теперь выражение
1 dip (г, ?)
А
<?Г
/ф(г, ?)J,
ikr
при
¦ ОО.
Из (10.15) и (10.9) можно показать после не очень сложных выкладок, что этот предел равен
ОО
1 -f- | ЛГо(и) е~ du,
о
где Ко (и) есть предел K{r, t) при г и (-юо вдоль прямой г — t = u>0. С другой стороны, из начальных условий (10.3) и асимптотического выражения для ф(г, k) (10.4) следует, что этот предел равен A (k)ei6(h\ Таким образом,
СО
1 + | Ко («) е~iku du — A (k) el 6 = ф (k). (10.16)
