Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
?)(Хi) (4) 0 ?)(vzy) 0 ?)(*i> 4) =
= 2D(Xl) (4) ® 0(Л!) = 2D(f> (5+) ® 2DiT) <5-> (22.12)
не содержит D<r) (1+).
Итак, все три составляющие градиента обращаются в нуль, и, следовательно, ветвь с симметрией D[Xi)''i] имеет нулевую производную по всем направлениям. Ясно, что мы имеем здесь критическую точку Р/. Чтобы установить индекс критической точки, необходимо знать в деталях поведение энергетических поверхностей в окрестности Xi.
На фиг. 5—8 приведены последние данные по дисперсии фононов в кристаллах со структурой алмаза: германии (фиг. 5 [11] и фиг. 8 [91]), кремнии (фиг. 6 [11]) и алмазе (фиг. 7,а и 7,6 [87, 93]). На всех фигурах сплошными кривыми показаны результаты расчетов, выполненных в оболочечной модели, а точками — результаты экспериментов. Анализируя эти данные, мы замечаем прежде всего, что для алмаза дисперсионные кривые на фиг. 7, а и 7,6 существенно отличаются от кривых для других кристаллов, в частности порядком состояний в точке .Y; для Ge и S1 (фиг. 5, 6, 8) дисперсионные кривые подобны друг другу.
Из фиг. 5, 6, 8 мы видим, что поперечное оптическое колебание 0!Х)(4) для Si и Ge является аналитическим минимумом и, следовательно, имеет индекс / = 0. Действительно, выбирая в качестве главных осей, проходящих через X, одну ось в направлении А, а две другие по перпендикулярным ей направлениям Z
Симметрия фононов, инфракрасное поглощение и комб. рассеяние 165
ц ТО 1
[я 10} 1 1 L0 s^J 'Ч ъ
j / /1
н у
н ТА ffc-t-
/ г к - !
ТО 1
1 t
[// ?] L0 "‘“ts rf -у-
4 / т
L it Р /
/ ТА •У<Г
/ *
к/кмакс
Фиг 5 Дисперсия фононов в германии. Кривые — расчет; точки — эксперимент [11].
|f^l Ф""1
S4
Li
/
/
/
> J у<Г- >-о—(j
/1 f
О,г 0,4 О,Б 0,8 1,01,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,1 0,г 0,3 0,4 0,5
(к,0,0)—¦«—(0,к,к) (к,к,к)—*
Фиг. 6. Дисперсия фононов е кремнии. Кривые — расчет; точки — эксперимент [11].
166
Глава 3
(0,0,к) (!, к, 0) (к,к,о) (к, к,к)
Фиг. 7. Дисперсия фононов в алмазе при 296 К. Кривые — расчет; точки —
эксперимент [87],
на квадратной грани зоны, мы убеждаемся, что ветвь возрастает по всем направлениям. Однако впоследствии нам понадобится изучить вопрос о возможности появления несингулярных критических точек в X. Для этого нужно изучить поведение дисперсионных кривых на всей квадратной грани зоны вокруг точки X, т. е. в направлении X — 2— К'(U). Тогда мы имеем несингулярную точку, если знак co(fe|/) — со(Х|/) для /-й ветви имеет вблизи X следующие свойства:
sgn [(О (Z | у) - (О (X I /)] = - sgn [(0 (2 I У) - (О (Х\ /)]. (22.13)
В этом случае на квадратной грани имеются четыре области с [со — со (X | /)] > 0 и четыре с [со — ш | у)] < 0.
Симметрия фононов, инфракрасное поглощение и комб. рассеяние 167
Если
со (A j /) — со(Х|/’)>0, то DiX')<-!) имеет точку Fй (22.14)
если же ,
со (А | /) — со (X | /) < 0, то 0(ЛГ > </) имеет точку F2. (22.15)
Точки Fj должны учитываться как точки Р/ с весом 3 [91, 92]. Колебание симметрии D(X)(4> для алмаза (фиг. 7) следует считать несингулярной точкой в отношении ветви Х2(0). Мы классифицируем колебание D(Ai) (4) в верхней ветви в алмазе как
Фиг. 8. Рассчитанная дисперсия в германии [91].
точку F1. Нижняя из двух ветвей, вырожденных в Хи относится к типу Р2- Эти результаты суммируются в табл 31.
Рассмотрим далее колебание симметрии D{X){t\ представляющее собой совокупность вырожденных продольных колебаний LO + LA. Проводя анализ точно так же, как для D{X')^\ получаем
?>(*')(1) ® D(v*) ® (1) = D^x^ (I) ® d(x'^ {1) =
= D<r> (I +) 0 <2-> 0 D^> <3+> 0 D<?) <4->, (22.16)
D(xi) (|) ® ® D^x^ = D<-x')(I) <g. [D№) <3i 0 d(X]) (4)] =
= 2 [D№ <2+> © DW <?-) 0D&(4+) © D(r> (4-»]. (22.17)
168
Глава 3
Однофононные критические типа точки и 1 алмаза Таблица 31 их индексы в кристаллах ‘)
Г<ч Х(3, ?4) И*6’ ?(‘12) <2‘24’ giZi)
.701 С 4 4 4? 4(2)? 4
Si Ръ Ро Рг РЛ 2) 4 40)
Ge Рг *0 Рг 4(2) 4 4(1)
{ГО 2 С 4 Рг Рг? ¦4(2)? 4(1) Р,1 4?
Si Рг Ро Рг 4( 2) 4 4(1) 4 4
Ge Рг Ро Рг 4( 2) 4 4(1) 4 4
to С Рг ЪЫ/РоЫ Рг 4,(2)? 4,4а)
Si Рг 4(1) Рг 4,(2) •4
Ge Рг т Р2 4,(2) —
и С ад Рг(Ш(П 4? 4(2)? 4(1), 4(1), 4„
t Si РоО) 4(0 п 4(2) —
Ge 4(3) 4( 1) Я 4(2) —
<ГЛ1 e 4(3) л й 4(2)? 4(1),-4(1) 4?
Si 4(3) л Pi 4(2) 4 Рг
Ge Pod) ч Pi 4(2) 4 Ру
ОМ 2 5 4(3) Fz Pi 4(2)? —
s ад f» Pi 4(2). —
Ge. Ров) Pi 4(2) -С-
') Знаки вопроса указывают на неопределенность интерпретации (см. текст). Числа в скобках в головке таблицы дают число векторов звезды. Методика определения индексов описана в тексте.
В этих формулах все представления относятся к точеч-
ной группе Dih. Поскольку (22.16) содержит D(r) (1+), по крайней мере одна компонента V*oj(ft) не равна нулю по соображениям симметрии. Но поскольку колебание D(X ) (1) является двукратно вырожденным и в соответствии с условиями совместности в направлении А расщепляется ?)W (1>—*Z)(A) !2,) то из ска-
занного выше следует, что обе ветви имеют в точке Х\ конечную производную. С другой стороны, из (22.17) мы видим, что величина Vco для обеих ветвей 0(Д) (2'> и 0<А><11 обращается в точке Х\ в нуль в плоскости, перпендикулярной А (т. е. в плоскости kykz). Следовательно, ветви, вырожденные в Xi, имеют две равные нулю производные и одну разрывную производную. Иными словами для этих колебаний ц = 1 и индекс точки есть Р/(1) или Fj (1).
