Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы дальше рассмотреть эти ветви, обратимся к дисперсионным кривым. Для кремния ветвь LO имеет минимум в направлении 2 (ветвь 23(0) на фиг. 6). Следовательно, точка ^
Симметрия фононов, инфракрасное поглощение и комб. рассеяние 169
имеет индекс 2, поскольку эта дисперсионная кривая убывает в направлениях 2 и Z. Далее, поскольку
sgn [ю (Z | LO) — ю (X, | LO)] = sgn [ю (2 | LO) - ю (X, | LO)], (22.18)
ветвь LO имеет в Ли аналитическую седловую точку Рг(1). Для Ge ветвь LO может не иметь минимума вдоль 2, так что может оказаться необходимой иная классификация. Предполагая, что ветвь LO растет в направлении 2, мы имеем снова ситуацию типа той, которая описывается формулами (22.13) — (22.15) (фиг. 5 и 8). Следовательно, ветвь LO в германии имеет в Xi точку типа Pi(l). Для алмаза детальная информация о дисперсии ветви (1) в направлении Z отсутствует, поэтому мы не можем проверить выполнимость (22.18). В случае отрицательной кривизны в направлении Z мы должны приписать этому колебанию индекс /^i (1), а в случае положительной—-индекс Р0(1). Все эти результаты включены в табл. 31.
Для ветви LA в кремнии мы имеем поведение типа Рз(1), так как эта фононная ветвь растет во всех направлениях; то же относится и к германию. Для алмаза при условии отрицательной кривизны вдоль Z получим Р3(1), а при положительной /^2 (1) (табл. 31).
Наконец, рассмотрим колебания симметрии <3). Повторяя тот же анализ, что и при выводе (22.11) и (22.12), получаем нулевой градиент во всех направлениях. Мы снова рассматриваем раздельно ветви TAX и ТА2. Во всех трех кристаллах ветвь ТА\ имеет в *1 точку Рь а ветвь ТА2 — несингулярную точку Ft.
Точка L{. Обратамся теперь к точке Lx. Соответствующая точечная группа $(Г) есть D3h- В табл. 32 приведены необходимые для анализа характеры. Можно непосредственно показать, используя свойства точечных групп и матричных элементов, что все ветви в L\ имеют нулевую производную во всех направлениях. Для анализа ветвей мы можем использовать систему ортогональных осей вдоль направлений Л, Q(L — IF) и M(L — К') [или (L — U)]. Дисперсионные кривые в направлении М от точки Li, как правило, неизвестны, но их можно грубо оценить.
Рассмотрим прежде всего кремний. Следуя в порядке убывания частот, остановимся вначале на ветви ТО Эта
ветвь весьма плоская (фиг. 6), но все же может быть отнесена к типу Рг- То же самое справедливо и для германия (фиг. 8). Для алмаза (фиг. 7), где ветвь ТО в L\ лежит ниже ветви LO, мы не располагаем достаточной информацией. Автору представляется, что здесь можно ожидать несингулярного поведения в соответствии с критерием Филлипса, но ввиду отсутствия точной теории или эксперимента мы будем просто следовать
170
/ лаии 3
результатам для Si и Ge и обозначим ветвь ТО 1 в L\ индексом /’2(?); ветвь Т02 также отнесена к типу Р2 для всех трех веществ.
Таблица 32
Критические точки в алмазе в окрестности Lx
Класс ') ,(1+> Ll r(2±) I Г (Х\ Y') *)
10} l 1 2 1 2
lbsxyz\0} l I -1 1 -1
{*2*5 14 l —! 0 -1 0
U 1 *;} ±i ±1 ±2 —1 —2
(ff6xyz I Til ±i ±1 =Fl —1 1
! M ±i 4=1 0 1 0
2 — 3—
') См. табл. Б1 и 22.
“) Компоненты Z' и (X', У') выораны соответственно параллельно н перпендикулярно
направлению [liij.
Рассмотрим далее колебание симметрии D(Ii)<1+). В германии и кремнии этому представлению отвечает ветвь LO, и критическая точка явно принадлежит к типу Р2. В алмазе это ветвь LA, и мы условно отнесем критическую точку к типу Р\. Для колебания d{L'){2~\ которое принадлежит ветви LA в Si и Ge, отнесение к типу Р\ очевидно. Для алмаза этому представлению отвечает колебание LO, и мы отнесем его к Р2. Колебаниям D(Ii) <3+), принадлежащим к типу ТА во всех веществах, мы приписываем индекс Р\. Вопрос о возможности несингулярного поведения в гексагональной плоскости около L в настоящее время остается, по-видимому, открытым.
Точка Wи Для изучения наклона дисперсионных кривых в точке W\ мы выбираем три ортогональных направления, а именно Z и два направления Q, проходящие через W\ в плоскости, перпендикулярной Z, и строим соответствующую таблицу характеров. В табл. 33 приведены все необходимые данные. Разрешенные неприводимые представления в этой таблице есть проективные представления с определенной фактор-системой точечной группы 'P(W'i), которая изоморфна группе D2d. Мы выбираем три единичных вектора поляризации г2, eQi и Eq,, направленных вдоль трех указанных ортогональных направлений. Тогда из табл. 33 следует, что под действием поворотов из
Таблица 33
Критические точки в решетках алмаза в окрестности №, = (2я, 0,—я) (1/а)
Элемент Класс *> < wf> (sZ'Vft = Vz) 2) (eQ,-V*, fQ
<Е|0} Ci 2 2 1 2
i txy) C2 —2 —2 1 2
{е 1 tyz} C3 —2i —2 i 1 2
{? 1 tzx) c4 21 2.i 1 2
\&2Z 1 0}» {^22 1 у) C5 0 0 1 —2
{^2Z 1 tyz1» t^2z 1 tzx] C6 0 0 1 —2
{&2xi1 1 T’ X + fxy} {б2xy 1 T + tyz, т + <гж} C7 0 0 — 1 2
{62xy 1 T- T + *xy} {*2x„ ! T + *4z> T + tzx} C8 0 0 — 1 2
C9 (! -i) - (1 — i) — 1 0
{°4z 1 ^лсу} {°4z | *zx} C,o — (1 — i) (i-o — 1 0
{<^!<уг}КЖЛ Cl, -a + «) a + o — 1 0
{«4z 1 hx} Кг' | °} С12 il +г) -a + i) — 1 0
