Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
D<-*o>(/> (g, д(*о) (/'). (22.4)
Если (22.4) содержит D(r> (1+>, то градиент в общем случае не обращается в нуль. Поскольку нас интересует только ограниченная задача (относящаяся к одной точке), мы можем использовать в (22.3) и (22.4) групповые операции и характеры точечной группы ®(ko)/Z(ko). Действительно, поскольку оператор V преобразуется по представлению D(r), любая операция, не принадлежащая этой точечной группе, просто переводит вектор k0 в другой вектор той же звезды.
В некоторых случаях более удобен иной подход, заключающийся в разложении
(I) ® U) = ? С//д(Г) (/') (22.5)
Г
на сумму неприводимых представлений в точке Г. Тогда, если среди D(r) встречаются представления, по которым преобразуется V, то градиент не равен нулю. Подчеркнем снова, что,
работая в малом, мы здесь должны рассматривать только операции группы
®(*o)/m)=m)> (22.6)
но не группы = Напомним, что ^ есть полная точечная группа, а $ (k0) — ее подгруппа. Как обычно, унитарность оператора ^>{Ф} позволяет заключить, что если {ф} принадлежит ф(?о)> т0 [см- (т- 1. 81.33) и (т. 1, 107.42)]
[е}+ [I ¦ VD] [е] = [е(ф)]+ [| • V((p)D] [е{ф}], (22.7)
так что только в том случае, если (22.7) не изменяется под действием всех операций группы §(k0), «матричный элемент» будет отличен от нуля, и поэтому Vco (?0| /) ф 0.
Структура алмаза: точка Г. Рассмотрим теперь набор критических точек для структуры алмаза. Даже для этой структуры, о которой имеется очень много данных, остаются все же некоторые неясности в деталях; они будут указаны по ходу изложения. В точке Г имеются два трехкратно вырожденных колебания: акустическое D(r)(15-) и оптическое D<r)(25+). Для акустической ветви ?)<г) (15~) мы имеем неаналитический минимум, для которого неприменима теория возмущений, описанная в т. 1, § 107. Градиент Vco не определен при k = 0. Следовательно, мы имеем дело с особой точкой, поскольку со(Г|Л) = 0, и динамическая матрица'—особенная; обозначим эту точку Р0 (т. е. Р/ с / = 0). В дальнейшем мы используем обозначения Джонсона
Симметрия фононов, инфракрасное поглощение и комб. рассеяние 163
и Лаудона [91]: Pf(n) означает критическую точку индекса /', а ц — число главных направлений, для которых фононная ветвь имеет разрывную первую производную. Обобщенный акустический минимум есть тогда точка Ро(3) и, поскольку функция распределения частот g (со) ~ со2, в первой производной dg (co)/dco |ft=r разрыва или другой особенности не возникает.
Оптическое колебание D(r) (25+) допускает использование теории возмущений. Тогда поскольку
?)(Г> (25+) 0 Q(T) (25+) (22.8)
содержит только четные представления, a D(v) = Z)(r) (13_), ясно, что в этой точке градиент обращается в нуль для всех трех оптических ветвей. Насколько известно в настоящее время, наибольшей частотой во всех кристаллах типа алмаза обладают оптические колебания в точке Г. Следовательно, эта точка есть Рз для каждой из трех оптических ветвей.
Структура алмаза: точка X Далее рассмотрим точку зоны Х\. Здесь все представления двукратно вырождены, причем фононы принадлежат к следующим неприводимым представлениям (табл. 22):D'X )iA), 0<Х){3), DiX) (1). Как указывалось выше, во всех случаях нужная нам группа представляет собой расширение точечной группы D^,, или, другими словами, допустимые неприводимые представления являются проективными представлениями точечной группы D4/,. Рассмотрим теперь колебание D{XUi). В табл. 30 мы воспроизводим необходимую
Таблица 30
Таблица характеров для определения критических точек в окрестности в алмазе
¦Класс1 X(D xw xm X(4 1 + 2 + 3± 4 + 5± x У' z
С, {*10} 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ] 2
С, {«!*,,} -2 -2 -2 -2 1 1 1 1 2 1 2
Сг {^AJO.r,,} 0 0 0 0 1 1 -1 -1 0 -1 0
с4 {*2,10} 2 2 -2 -2 1 1 1 1 -2 1 -2
С, {*2,1»,,} -2 -2 2 2 1 1 ¦ 1 1 -2 1 -2
С6 {*4,.*4,4*1.*1 + ',,} 0 0 0 0 1 -1 -1 1 0 1 0
С, {*2,(К}. {*2»»1*1+Г„-} 0 0 2 -2 1 -1 1 -1 0 -1 0
С8 {*2,ll*lb {*J„l*l+»„} 0 0 -2 2 1 -1 1 -1 0 -1 0
с, {ijTi.Ti+r,,} 0 0 0 0 + 1 + 1 ±1 + 1 ±2 -2
¦с„ {P,,P,1*1 >*!+*,,} 0 0 0 0 + 1 ±1 + 1 + 1 0 1 0
Си {/»,K, *i+*,>) 0 0 0 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 -1 2
С, 2 {ff4,.O4,M0,f„,} 0 0 0 0 ±1 T1 T1 + 1 0 -1 0
С13 {*.Ю}, {/>„[»} 2 -2 0 0 + 1 +1 + 1 + 1 0 1 0
Сц {pf,\*х,}> {PflUxf} -2 + 2 0 0 + 1 T1 + 1 T1 0 1 4- 0 5-
' Классы те же, что в табл. 18а. 6*
163
164
Глава 3
для разложения информацию о характерах этого и двух других представлений. Мы видим, что Dlv) преобразуется по сумме представлений D(r)(4_)©D(r)(5_), где используется обозначение Г, чтобы учесть то обстоятельство, что мы имеем здесь дело не с полной группой SPo, а с подгруппой SP(ft) = $(?>«) • Мы используем также естественное разбиение D(v> в группе DAh на D(Vx^
и DtVz у\ где Dотносится, очевидно, к ^-компоненте вектора градиента, параллельной линии А. Из табл. 30 находим
D^x) 0 D{X(4) = D(x^ {3>, (22.9)
= D^l)n)0D(Ari)(2), (22.10)
где Vгу относится к перпендикулярной компоненте градиента. Но тогда
?)(*!) № 0 ?)(V*) ф ?)(*,) И) =
= 2 [D<T) <2+) ® D<r> <2-> ® 0<Г) <4+> ® 0<Г) (4-)], (22.11)
т. е. не содержит D(r)(I+>; точно так же произведение
