Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
§ 20. Симметрия фононов в решетках каменной соли и алмаза
В соответствии с результатами т. 1, § 104, мы начнем обсуждение симметрии фононов с построения колебательного, или Д-представления, порождаемого смещениями (описываемыми в декартовых координатах) каждого из атомов кристалла. Затем мы осуществим приведение этого представления и определим тем самым типы фононов, т. е. содержащиеся в нем неприводимые (физические неприводимые) представления. Мы рассмотрим примеры вычислений типов симметрии нормальных колебаний для звезд Г, *Х и *L в случаях каменной соли и алмаза. Вначале исследуется группа канонического волнового вектора звезды, например ®(Г), ®(Xi), ®(Li), а затем строится полное представление.
Рассмотрим сначала решетку каменной соли. Так как группа Он является симморфной, то каждый узел, занятый атомом, обладает полной симметрией Он. Для точки Г смещения всех 9лементарных ячеек происходят в фазе. Тогда ясно, что харак-
150
Глава 8
тер элемента {фР|0} в представлении, порождаемом смещениями, для точки Г есть просто
Х(Г)(А) ({фР 10}) = ± п(фр) (1 + 2 cos фр), (20.1)
где, как обычно, п(фр)— число атомов, не затрагиваемых операцией {фр10} (остающихся на месте); фр— угол поворота в операции {фР|0}, а знаки ± относятся соответственно к обычным и зеркальным поворотам. В табл. 20 столбец Г дает систему характеров представления (20.1); в последней строке указано приведение этого представления.
Таблица 20
Приведение колебательного представления для группы 05h (кристаллы типа NaCl) в точках Г, X,, Lv Каждый столбец содержит поворотные элементы симметрии ($р группы 6 (k) и характеры колебательного представления, соответствующего волновому вектору k
г х,
{е 1 0} 6 {8 |0} 6 {в| 0} 6
{®зхуг I 0) 0 &2X —2 {<WI°}’ feU °} 0
&2Х 1 0} —2 &2У ^гг —2 {62ху |0}. {*2« |0}, {*т ,Ю} 0
{6«|0} 2 2 f 0
{^2ху 1 0} —2 ^2уг< ^2уг —2 ft ГГ ^ 6 xyz' Qxyz 0
{г 10} -6 i —6 Рху’ Рлг' Руг о
{айхуг 1 0} 0 Рх 2
{Рх 1 0} 2 Ру, Рг 2
'А* 10} —2 °4Х’ аГх —2
{Р ху 1 0} —2 Р</2> рг/г 2
Приведение представления:
2Z)(r)(I5-) 2?)(Х,) (4-) 02д№) (5-) ?)(il) (1+) 0 q(L i) (3 + ) 0
0 д(*1> (2-) 0 D(L0 (3-)
Ганезан и др. [83] ошибочно считают все представления в точке Lx четными; правильный результат приведен в работе Бурстейна, Джонсона и Лаудона [84].
Рассмотрим теперь ситуацию в точке Хг. Нам нужно найти характеры для элементов группы ©№), перечисленных
в табл. 8. Результат можно получить прямыми расчетами и при k Ф Г, если применять операции симметрии к полной сумме типа (т. 1, 104.2) декартовых смещений с фазовыми множителями. Следовательно, если операция симметрии {фР|0} или
Симметрия фононов, инфракрасное поглощение и комб. рассеяние 151
{фр|тр} переводит атом в эквивалентное положение, могут возникнуть два случая: атомы могут принадлежать либо различным подрешеткам Браве, либо одной и той же подрешетке. Первый случай может реализоваться для алмаза (см. ниже), но не для каменной соли. Во втором случае мы должны рассмотреть трансляцию {e|/?i}, переводящую атомы одной решетки Браве обратно в свои начальные положения. При вычислении характеров это приводит к необходимости учета фазового множителя ехр (—ik-RL) ¦ Поясним сказанное на примере точки Я, в решетке каменной соли. Рассмотрим характер элемента {бгг/10}. Характер содержит сумму вкладов от векторов смещений атомов с координатами (0, 0, 0) и ('/г, Уг, ‘/г). Поскольку операция {бгу 10} не затрагивает атом в начале координат и является собственным поворотом, вклад от атома (0, 0, 0) равен
(l + 2cosn) = —1. (20.2)
Атом ('/г, ’/г, У2)я переводится в положение (—'/г, Уг, —У2) а, так что необходимо совершить трансляцию Rl — { 1, 0, 1 )а — == 212, чтобы перевести его обратно. Следовательно, фазовый множитель есть ехр(—iX\-Rl) = 1, так что вклад от атома ('/г, '/г, ’/г) а равен
(1+2cosn) = —1. (20.3)
Следовательно,
х№)(Д)({62у|0» = -2. (20.4)
Тем же способом находятся характеры всех остальных элементов группы @(Xi). Они даны в табл. 20; в последней строке указан результат приведения.
Подобным же образом можно найти и осуществить приведение колебательного представления для точки L\. Рассмотрим вычисление характеров элемента {62л:^ 10}. Вклад от атома (0, 0, 0), который остается на месте, равен —1. Атом (Уг, Уг, ’/г)а переводится в положение (—У2, —’/г, ¦—Уг)«. Соответствующая трансляция Rl = t\ + t2 + h дает фазу
ехр (— iLi • Rl) — — 1.
Следовательно, вклад от этого атома равен (—1)-(—1) = 1.
Тогда
X(il)(A)U<W0}) = 0. (20.5)
Точно так же получаются все остальные данные табл. 20.
Результаты подобных вычислений приведения представления, порождаемого декартовыми смещениями, даны в табл. 21 для всех точек, линий и плоскостей высокой симметрии.
В табл. 21 указана также классификация фононов по типу поляризации и ветви (поперечные оптические и т. д.). В некоторых
152
Глава 3
Таблица 21
Симметрия фононов в кристаллах типа каменной соли
Звезда Неприводимое представление Ветвь !)
г ?<ГИ15-) Акустическая
^(Г) (15—) Оптическая
*х D(*x) (4-) LA
