Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь следует получить выражение для оператора тензора поляризуемости Ри-. Как и в предыдущих параграфах, мы
'У/? _ 1 'VY>
db — <7ВГарм “Г
где, как видно из сравнения с (т. 1, 110.17),
&a = Va,
(6.17)
(6.16)
гарм
'0»
(6.18)
68
Г лава I
временно будем рассматривать Рш как «с-оператор». Обратимся к исходному определению оператора поляризуемости, а также к разложению (3.58) этого оператора по степеням комплексных нормальных координат. Каждый член в разложении должен преобразовываться по одному из неприводимых представлений, входящих в представление, по которому преобразуется симметричный тензор второго ранга. И в этом случае симметрия ограничивает возможные слагаемые в (3.58) теми слагаемыми, для которых отличны от нуля коэффициенты приведения (3.62); эти выводы очевидным образом обобщаются на члены более высокого порядка.
Дальнейшее рассмотрение сводится к непосредственному использованию теории возмущений для функции Грина. Мы отметим основные этапы вычислений и приведем некоторые результаты. Детали читатель может найти в работах [11, 12]. Прежде всего следует выразить гамильтониан (6.16) через операторы рождения и уничтожения. Такой переход можно выполнить, подставляя вместо нормальных координат выражения
« ( * ) = ('5ПТПг) V < - * IМ+<¦ <* IW) - (йгщтг) * Л <* I л.
(6.19)
где величина A(k\j) определена равенством
А (к | /„) = а+ (- k | /v) + a(k | /v) (6.20)
[отметим, что A(k\jv) — A+(k\jv)]. Оказывается, что в представлении вторлчного квантования более удобно использовать операторы A(k\j), а не операторы a(k\j). После подстановки
(6.19) и (6.20) в выражение для Ж получаем
dtg0=l,1to(k\j)A+(k\J)A(k\j), (6.21)
kj
„ k' k"\
= ? У(3) ( ; If jff ) A (k\j) A (k' | n A 0ft" I j") +
kjk'j'b"Г
/ k k' k" k'" \
+Еу(4Л/ г i" /"' ]л(*1/М(*ЧЛЛ(*пт(Л'"|Г'). (6-22)
В (6.22), как обычно, мы сохранили только члены, соответствующие энгармонизму третьего и четвертого порядка. Подставляя
(6.19) и (6.20) в выражение (3.58) для оператора поляризуемости, получаем (опуская индексы k\, k2, соответствующие вол-
Взаимодействие излучения с веществом
69
новым векторам фотонов) р - ро_ ? рш (*ы Л (ft | /) +
%
+ Е Е ^ « 1 к'п аыпа <* 1 п (-щетЬттт)'" + • • • ¦
(6,23)
Для вычисления функции Грина необходимо преобразовать
(6.7) к форме, удобной для диаграммного анализа. Для этого следует перейти к операторам в представлении взаимодействия, зависящим от «мнимого времени», т. е. от температуры. Так, например, оператор A(k\j) в представлении взаимодействия определяется формулой
[Л(*|
/) (РЛпредст. взаимод —
ехр фЖ0) А (k I /) exp (— р5^0)- (6.24)
Это преобразование позволяет проводить вычисление (6.14). Основой используемого метода является представление величины (6.14) в виде суммы температурных средних по каноническому распределению невзаимодействующих фононов, т. е. по каноническому распределению, характеризуемому гамильтонианом Ж§- Рассмотрим вспомогательный оператор или цепочку операторов О(т); определим с его помощью величину
%{0, т) =-^- Sp (ехр(— рЖ0) ТхО (т)) = -^-(ТхО (т))0, (6.25)
?о О
где
Z0 = Sp (ехр — $Ж0). (6.26)
Тогда, как можно показать, температурная функция Грина
(6.7) может быть записана в виде
9^, т)==
= Ё JTL(I'.'V Wpu-<«) j*. •••
п=0 ' О
3 \
- <6-27)
О 'Ос
причем все операторы в (6.27) зависят от мнимого времени. Символ <.. ,)ос означает, что оператору, стоящие в скобках, следует усреднить по каноническому распределению с оператором гамильтониана гармонического приближения Жо и что в (6.27) следует учитывать только связанные диаграммы [41]. Сумма несвязанных диаграмм сокращается со статистической суммой Z.
70
Глава 1
Выражение (6.27) можно записать в другой эквивалентной и менее громоздкой форме:
т)~
Vtexp(-J^(T')rfT^/>u,(T)/>w,(0)^ • (6.28)
Путь дальнейшего теоретического анализа очевидным образом следует из вида (6.28) и (6.23). Подставляя (6.23) в (6.28), можно представить температурную функцию Грина в виде суммы членов, каждый из которых включает один множитель из разложения Ри, (т) и один множитель из Рц'(0). Таким образом,
»(>v. Ри, *)=? Z р">(ftIv)р<»I/')(-4.(й|(ft,|¦>-,)v,x
X (тх exp 5 Ж А (х') dx'^j A (ft | j) (x) A+ (ft'| j') (0)^ . (6.29)
Следовательно, температурную функцию Грина (6.28) можно выразить в виде суммы однофононной температурной функции Грина, двухфононной температурной функции Грина и т. д. Поэтому основными выделяемыми величинами являются однофо-нонная и многофононные функции Грина [11, 12, 42, 43].
Рассмотрим сначала однофононную температурную функцию Грина
9(А(к\]), А+(к'\П, х) =
= (т% j^expJ (г') dx)] А (ft | /) (t) А+(k'\ j') (0)^ . (6.30)
В наинизшем приближении (6.30) совпадает с невозмущенной функцией Грина [41], которая диагональна по k, ft' и /, /':
(.ТХА (ft | /) (т) Л+ (ft | j) (0)>0с =
= и (ft | /) exp [| т | со (ft | /)] + (ft (ft | /) + 1) exp [— | -r | co (ft | /)]. (6.31)
Слагаемое следующего приближения в ряде для (6.30) содержит линейный по Ж a (xi) член, а члены более высоких приближений содержат еще более высокие степени Жа(х'), что соответствует слагаемым в (6.27) с п > 1.
