Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
рическим дипольным моментом первого порядка М{Х) вклад
в функцию Грина (6.47) в наинизшем порядке дает однофонон-ная температурная функция Грина. И в этом случае следует отметить, что при фиксированной частоте внешнего электромагнитного поля со вклад в Зп.' М дают все члены ряда, возникающего при подстановке (6.49) в (6.47). Таким образом, строгого разделения вкладов от однофононного, двухфононного и т. д. процессов провести нельзя, так как все они смешиваются ангармоническим взаимодействием.
При рассмотрении инфракрасного поглощения методами теории многих тел более удобно вычислять диэлектрическую восприимчивость, а не вероятность поглощения фотона. Поэтому вместо того, чтобы находить выражение, аналогичное (6.32), отличающееся заменой Р(|)(0/) на обычно вычисляется
диэлектрическая восприимчивость, а коэффициент поглощения выражается через мнимую часть диэлектрической восприимчивости. Такой подход обсуждается в упомянутых выше работах [11, 12]. Диэлектрическая восприимчивость определяется выражением
[ср. (6.48)]. При вычислении %kV с той же точностью, что и в
(6.32), «однофононный» вклад в восприимчивость имеет вид
И в этом случае Д(0//|ю)—собственно-энергетическая часть сдвига частоты колебаний, Г(0//|со) — затухание фонона.
Вклад второго порядка (т. е. двухфононный) в восприимчивость, который можно сопоставить с анализом критических точек, определяется суммой выражений, соответствующих различным диаграммам. Эту сумму можно записать в виде
Xu'(w) = P lim Mv> w+”l) (6.50)
Т|-»0+
2(0 (0 | /) Мя (0/)* Mv(0/)
• (6.51)
[ш2 (О I /) — со2 + 2со (0 | /) (Д (0/7 I со) — /Г (0// | со))]
fk k'\ fk — k\
j )MjP{j j')s^- <6-52)
Как и в случае комбинационного рассеяния света, можно показать, что при низких температурах и малой величине ангармонического взаимодействия выражение (6.52) тесно связано с кон-
Взаимодействие излучения с веществом
7?
цепцией критических точек для многофононных процессов. Действительно, коэффициент поглощения пропорционален ImS(co), а
Im S (со) ~ р2 (со {к | /) + со (— k | j')). (6.53)
Сравнивая это выражение с (2.60), видим, что появление членов типа (6.53) является обоснованием метода критических точек.
Следует заметить, что и в этом случае общая теория, определяющая границы применимости концепции критических точек при наличии ангармонического взаимодействия, по-видимому, отсутствует. Однако в гл. 2 приводятся результаты сравнения теории с экспериментом, которые в целом ряде случаев свидетельствуют о хорошем согласии с теорией, основанной на выделении критических точек.
в. Теория групп и температурные функции Грина фононов.
Из проведенного выше рассмотрения ясно, что температурная функция Грииа играет определяющую роль при вычислении реакции кристалла на внешние воздействия. Рассмотрим теперь однофононную температурную функцию Грина кристалла, имеющего симметрию, соответствующую пространственной группе Антиунитарные операции мы не будем принимать во внимание. Хотя мы рассматриваем только случай однофононной температурной функции Грина, используемые соображения относятся и к многофоиониой функции Грина; по-видимому, для этой функции подобное рассмотрение еще не приводилось.
При использовании канонического распределения для взаимодействующей (ангармонической) системы однофононная температурная функция Грина определяется выражением
$(A(k\j), А+(к'\П, т) =
= Sp (ехр (- m ТХА (к | /) (т) • А+ (к' | j') (0)) у. (6-54)
где
Z = Spexp(—Р Ж). (6.55)
Вследствие трансляционной инвариантности кристалла все слагаемые в Ж коммутируют с полным импульсом, т. е. если Р — оператор полного импульса системы, то
[Ж, Р]_ = 0. (6.56)
Следовательно, функция (6.54) должна быть диагональной по к, т. е. k = k'.
Обратимся теперь к вопросу об ограничениях, накладываемых симметрией на возможные значения индексов ветвей j и при которых функция (6.54) отлична от нуля. Напомним, что для каждого значения k индекс / соответствует одному из
78
Глава 1
допустимых неприводимых представлений группы (k). Следует также иметь в виду, что классические нормальные координаты
Ql . I при преобразованиях ®(k) преобразуются в соответ-
\ /д /
ствии с |х-й строкой допустимого неприводимого представления ?)(*)(/) ГруППЫ При переходе к представлению вторичного
квантования мы примем, что правила преобразования операторов Л(&|/д) совпадают с правилами преобразования классиче-/ k \
ских величин Qy j j> которым они соответствуют. Напомним,
что обсуждение этого вопроса и некоторых связанных с ним трудностей содержится в т. 1, § 102. Следовательно, для Л(6|/д) и Ж мы можем воспользоваться формулами (т. 1, 86.28), (т. 1, 86.30), (т. 1, 101.1) и (т. 1, 109.24) —(т. 1, 109.35). Итак, рассмотрим действие преобразования симметрии на (6.54) с учетом тех необходимых изменений, которые надо произвести, имея в виду, что преобразуемые величины являются операторами.
Пусть Р(ф|<) — оператор пространственной группы @. Действие этого оператора на Л(йа|/д) дает
(к | у „=§ о**01'1 (tf I пи „« л (*, | q, (6.57)
где для Л(k61 /й) использовано правило преобразования вели-fk&\
