Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
2 чч^п^чч'-
ЯА'ХХ'
Будем использовать сокращенные обозначения |хол>=|п> и т. д., так что
2<«!pu'l«)<»lpu'h)6(A®“®^)- (6.2)
п
Напомним, что %ол — конечное колебательное состояние, а У^0п — исходное колебательное состояние. Теория, изложенная в § 2 и 3, относится к случаю температуры, равной нулю. Чтобы обобщить ее на случай Т ф 0, следует включить в (6.2) соответствующее температурное усреднение по начальным состояниям. Считая далее, что изменение энергии при рассеянии, равное
Взаимодействие излучения с веществом
65
Лео, фиксировано, запишем обобщенное (усредненное по распределению) выражение для тензора рассеяния
r) = xZ<nlPU'|«><»|pU'lп>е_ВВпв(Дт-тпЯ). (6-3)
ПП
где р = (/еГ)“1, а
Z=E е~^п- (6.4)
П
Выражение (6.3) можно переписать через спектральную плотность температурной функции Грина двух операторов Рхк,{В § 3 величины Ркх, и Р^, были определены в
(3.43) как функции (с-числа) координат ионов (смещений) R. Теперь нам нужно переписать эти величины в представлении вторичного квантования.
Обозначим через Ж полный гамильтониан кристалла с учетом ангармонического взаимодействия, записанный в представлении вторичного квантования. Тогда в этом же представлении требуемые операторы, соответствующие Рку и Р^,, определяются соотношениями
Рххг ->• Ркх' (т) == e&xPxx'e-3'ix, (6.5)
Pxx'^hx'iO). (6.6)
Здесь т—вещественная переменная, играющая роль «мнимого времени» при описании в представлении Гейзенберга. Операторы Р, определенные согласно (6.5), (6.6) в представлении вторичного квантования, действуют на векторы состояний в пространстве Гильберта — Фока. Температурная функция Грина для этих операторов при рассмотрении канонического распределения определяется соотношением [11, 41]
S(^v(*)^U'(0))^(Pu,, Ры, т)аэ
^Sp(e-^rtPu,(T)^(0))l. (6.7)
Здесь Тх — оператор упорядочения по «времени» т. Температурную функцию Грина (6.7) можно разложить в ряд Фурье; при этом мы получим
^{рхх'^)Рхх'Щ= ? Рхх” Ч)ехРЧт» (6-8)
П~ — ОО
где переменная ю„ принимает значения
2 пп.
66
Глава I
Соотношение, обратное (6.8), имеет вид
+ оо
^ (ри.'’ Ри." Ч) = i 5 ^ (PU.' (т) (0)) exp - /шт rfx. (6.10)
— со
Температурная функция Грина (6.10) определена на бесконечной последовательности дискретных точек тп на оси мнимых частот. Аналитически продолжая эту функцию на действительную ось (плюс или минус бесконечно малая добавка), т. е. полагая
Z(D„—»¦ Q ± Щ, Т} = 0+, (6.11)
получим функции
$(pw> pw> Qifri). (6.12)
Функции Рw,, Q) можно выразить через функцию
спектральной плотности р {Pxx'Pf.l'> “)> зависящую от непрерывной переменной со. Выполняя это, получим
+ оо
5 (l-«-|,")P('>u..'>u..“)(^Ta)- (6-13)
— СО
Это соотношение дает интегральное преобразование, связывающее температурную функцию Грина с функцией спектральной плотности. Соотношение, обратное (6.13), определяющее спектральную плотность, имеет вид
Р (Рм. РЫ> й) = 1-(1 -еП~'Х
X Пгг.[?(/>и„ Pw, 0 + /т1)-»(Рш> Pu„ Q-IT1)]. (6.14)
0
Таким образом, спектральная плотность определяется через скачок температурной функции Грина на вещественной оси.
Здесь следует сделать два замечания [11]. Во-первых, интенсивность комбинационного рассеяния света (6.3) в точности совпадает с функцией спектральной плотности (если положить Д(о = 0):
!кк', ш(д“> Г) = Р(Ли'> Д(0)- <6Л5)
Во-вторых, описанная в работе [11] графическая техника позволяет вычислять именно температурную функцию Грина, входящую в правую часть соотношения [6.14]. Отметим, что для нахождения температурной функции Грина можно воспользоваться и другими методами, например методом уравнений движения или методом уравнений в функциональных производных [12].
Взаимодействие излучения с веществом
67
Обратимся теперь к специальному вопросу об использовании в этих расчетах свойств симметрии системы. Для этого нам следует детально проанализировать методику расчетов, в частности технику вычисления фурье-компоненты температурной функции Грина 9(Ри„ Ра„ гмя). Для определенности мы будем иметь в виду диаграммный метод вычисления температурной функции Грина, однако аналогичные выводы можно отнести и к расчетам с использованием уравнений движения или функциональных интегралов [12].
Прежде всего необходимо получить точное выражение для гамильтониана Ж, входящего в (6.7); будем временно рассматривать этот гамильтониан как с-число. Гамильтониан Ж— полный гамильтониан решетки, т. е. при расчете тензорного оператора поляризуемости Р учтены все электронные эффекты. Полный гамильтониан решетки мы рассматривали в т. 1, § 110; для настоящего рассмотрения его удобно записать в виде
где Ж а— ангармоническая часть потенциальной энергии. Гармоническую часть гамильтониана обычно записывают в виде
причем в соответствии с (т. 1, 109.24) гармоническая часть гамильтониана представляет собой билинейную функцию комп-
лексных нормальных координат Q *. Оставшаяся
часть соответствует ангармоническим членам; они содержат комплексные нормальные координаты в степени, более высокой, чем вторая.
Ясно, что теория групп в принципе играет существенную роль при определении структуры Жа, поскольку в разложение Жа по нормальным координатам входят только те комбинации (произведения), для которых выполняются все условия, налагаемые симметрией. Напомним, что в соответствии с (т. 1, 109.69) — (т. 1, 109.75) и последующими равенствами в ряде для Ж а появляются только такие слагаемые данной степени координат, для которых отличны от нуля соответствующие коэффициенты приведения, т. е. такие произведения, из которых можно образовать инварианты кристалла. Таким образом, первое приложение соображений симметрии, а именно ограничения на возможные слагаемые в Жа, уже знакомо нам из предыдущего.
