Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
чин Ql . I. Поскольку Р{Ф|<) по определению представляет
\ /д /
собой оператор симметрии полного гамильтониана, имеем
Р~^ЖР{ч\ц = Ж. (6.58)
Рассмотрим теперь преобразование температурной функции Грина (6.54) под действием оператора симметрии кристалла Р{ф|(}. Поскольку Р{ф|*> — линейный унитарный оператор, не обращая внимания на оператор Тх, можно записать
Sp {ехр(-m А (кй |/J (т) A+(k6\ /;,)(0)} =
= Sp {P~\t) ехр (- m A (k61/J (T) A+ (k61 /;,) (0) Р{ф|<)} = (6.59)
= Sp {p~\t) exp (- m pW)pt;u)a (k61 /J (T) x
= § I ({q> |f})v6, ({, | t)fa' ^ X
X Sp {exp (- m A (kQt | Q (t)A+ (k0, | /,) (0)}. (6.60)
Взаимодействие излучения с веществом
79
Таким образом, при преобразовании, соответствующем оператору однофононная температурная функция Грина пре-
образуется как базисная функция прямого произведения представлений [46, 47], по которым преобразуются операторные сомножители. В символическом виде имеем
S(A(k\j), A+(k'\j'), т)~Di*k)u)®Di*k'){n\ (6.61)
Разумеется, поскольку операторы A(k\j) и A(k'\j') соответствуют исходным нормальным координатам, они должны преобразовываться по исходным представлениям.
В (6.59) операция Sp приводит к появлению скалярного произведения, а оператор P\v\t представляет собой «поворот», поэтому функция Грина должна оставаться инвариантной:
%(A(k\j), A+(k'\j'), х)~D{VH1+)- (6.62)
Из соотношений (6.61) и (6.62) следует, что если коэффициент приведения
(*kj*k'j'\T(l +))= 1,
то
S(A(k\j), A+(k'\j'), т) Ф 0. (6.63)
Как и в случае правил отбора для двухфононных процессов, видим, что соотношение (6.62) может выполняться только при k = к'. Ранее этот результат рассматривался как следствие трансляционной инвариантности кристалла. Напомним далее, что, согласно результатам т. 1, § 109, билинейная инвариантная эрмитова квадратичная форма может возникать только в том случае, когда сомножители преобразуются по одной и той же строке одного неприводимого представления. Поэтому выполняется равенство j = т. е. отличен от нуля только диагональный элемент
3U(*IU Л+(*|/Д т). (6.64)
«Смешивание колебаний» происходит в том случае, когда коэффициент приведения (6.63) больше единицы. Так, например, если
(*kj*kj'\ Г(1+)) = 2, (6.65)
то должны существовать две не равные нулю однофононные температурные функции Грина. Две функции могут возникнуть только в том случае, когда среди представлений, соответствующих *k (или k), одно из представлений D^*k^U) или 0{к)(!) встречается дважды. Тогда так же, как это было в аналогичном случае анализа правил отбора для двухфононных переходов, можно составить две линейно независимые билинейные комбинации
80
Глава 1
операторов A(k |/д), преобразующиеся по представлению ?>(Г)(1+). Для нахождения правильных линейных комбинаций необходимо решить систему из двух линейных уравнений.
Таким образом, однофононная температурная функция Грина отражает смешивание тех колебаний, которым соответствуют операторы, преобразующиеся по одной и той же строке одного неприводимого представления. Число различных, не равных нулю однофононных температурных функций Грина при данном k равно кратности выбранного допустимого неприводимого представления группы ©(&). Если кратность представления равна двум или больше двух, то однофононная температурная функция Грина удовлетворяет матричному уравнению Дайсона, которое после преобразования Фурье по времени принимает вид
** (*!«•). Л*(*|у, чКа.'-
-pES>U<*iu л+(*1и %)sx
V X (*//" I Шп) 9 (А (к \ /;), Л+ (к IШп). (6.66)
Если опустить все несущественные в данном случае индексы, то (6.66) можно переписать в виде
® <¦%. <6UW -1®. <*u ? Р <*>,„«.» (*)«.)•
1ц"
(6.67)
Согласно вышеизложенному, размерность матрицы
Л*(ЧГ,-), ч) м
равна кратности допустимого неприводимого представления ?)(*)(/> группы ®(k). Если данное представление встре-
чается только рдин раз, то матрица &(k){j/r диагональна.
Для точки общего типа в зоне Бриллюэна, когда группа ®(к) просто совпадает с группой ?, должно происходить полное перемешивание колебаний, так что *§ (к), представляет собой
'Ц* '{.I
/s-мерную матрицу; аналогичным образом собственно-энергетическая часть 2 (k) будет матрицей такой же размерности.
Эти результаты были использованы для вычисления температурной функции Грина для кристаллов со структурой типа NaCl в работе Валлиса, Ипатовой и Марадудина [6, 7]. Как будет подробно показано в § 20, в кристаллах этой структуры акустические колебания с k — 0 преобразуются по трижды вырожденному векторному представлению. Поэтому в отсутствие макроскопического электрического поля можно было бы ожи-
Взаимодействие излучения с веществом
81
дать смешивания между акустическими (при k = 0) и оптическими (при к — 0) колебаниями. Однако можно показать [6, 7], что вследствие инвариантности кристалла (и его потенциальной энергии) относительно бесконечно малых поворотов соответствующая константа взаимодействия обращается в нуль:
... /0 k' k" \ ... / 0 V k" к"' \
v (/ г гГу О г г г Г0' <6-69)
где индекс / относится к акустической ветви. Таким образом, акустическая ветвь при векторе к, точно равном нулю, не взаимодействует с оптическими ветвями с к = 0, имеющими такую же симметрию. Следовательно, диагональные и недиагональные
