Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Вообще говоря, для нахождения однофононной температурной функции Грина необходимо решить уравнение Дайсона. Это
Взаимодействие излучения с веществом
71
уравнение обсуждалось в ряде работ [6, 7, 44—47], и было замечено, что вследствие ангармонического взаимодействия индексы / и /' в (6.30) не всегда совпадают, т. е. в общем случае имеется смешивание колебаний. Тем не менее вследствие трансляционной инвариантности кристалла величина S?(A(k\j), A+(k'\j', т)) должна быть диагональной по k. Поэтому во втором операторе штрих у волнового вектора можно опустить. Вопрос
о смешивании колебаний представляется достаточно важным, поэтому в п. в настоящего параграфа мы кратко обсудим его с точки зрения симметрии.
Для наших целей достаточно использовать имеющиеся выражения [42, 43] для интенсивности рассеяния (6.2) и (6.15) в приближении, учитывающем только однофононные вклады [что соответствует первому слагаемому в (6.29)]. Кроме того, в (6.30) мы сохраним только поправки первого порядка. Таким образом, пренебрегая смешиванием колебаний (у = j') и рассматривая предельный случай бесконечной длины волны (к — 0), получим
ЯЧя'.яя' (Аса) = (ехрР2А“~- )~: X
4Р* (0/) Р (0/) со (0 | у)2 Г (0//, Да)
х1
/ {со (0 | /)2 - (Да)2 + 2а (0 | /) Д (0jj, Да)}2 + 4со (0 | У)2 Г (О/у, Да)2 *
(6.32)
Здесь Г(0у‘у, Дсо)— затухание, включающее множитель, выражающий закон сохранения энергии, а Л (0/у, Дсо)— собственноэнергетическая часть сдвига частоты, обусловленного энгармонизмом. Эти величины равны
( 0 0 ki — *i \
Д (0ууь X) = 12 ? V J J J I ) (2л, + 1) +
*i/i
/о 0\ /о ft —k\ /0 —k k\
+2ZvAi /Н-18Еч//, /Mi i, и*™-
ap fe/i/?
(6.33)
где слагаемое, пропорциональное Fap, соответствует выделению вклада термоупругих напряжений, и
^ /0 k —k\ /0 k ~k\
г(о«'*)=18?Ч;л J4//, Js«- <6-34»
«/l/2
В (6.33) и (6.34) величины
/li = [expPco(fti |y'i) — 1]“‘ (6.35)
72
Глава I
представляют собой числа заполнения для колебаний (k\\j\), а R(\) и S(X) — вещественная и мнимая части функции А/(Х dz ir\). Выпишем их в явном виде:
п ( Y\ _ ii\ П2 -\- \ ¦ И; ~Г П2 ~Ь 1 I
(<*> i + м2 + Юр (<Й1 + <Й2 — Х)р
j ^2 г ____& 1 U2 /гу QC\
1 (СО! — со2 — Х)р ^ (со2 — со,— Юр ’ ' ¦ '
S (yY) = — Л (й) + «2 + 1) (6 (coj + С02 Л’) — б (X — COj — со2)) +
+ л {й\ — п2) (б (coj — со2 + X) — б (X — a>i + со2)). (6.37)
В (6.32) суммируемое выражение представляет собой [если исключить коэффициенты разложения Р(1)(0|/)] спектральную плотность однофононной температурной функции Грина.
В кристалле со структурой каменной соли (§ 20) из свойств симметрии следует, что все коэффициенты первого порядка Я» (0|/) равны нулю, так как симметрия фононов в точке k — Г не соответствует симметрии тензора второго ранга. Следовательно, первый отличный от нуля вклад в температурную функцию Грина и тем самым в рассеяние должен определяться вторым слагаемым в правой части (6.23), билинейным по операторам A(k\j). Но это приводит к рассмотрению двухфононной функции Грина, так как оба сомножителя дают билинейные члены. В этом случае большое число разных слагаемых дает вклад в рассеяние. В общем виде вклад в рассеяние равен
ЗГп,и, (Аш) ~(ехр р Асо— I)-1 I Pin (fc/ГГ Р{2) (kjj') S (Асо). (6.38)
*//'
Это выражение соответствует двухфононному процессу (процессу второго порядка) комбинационного рассеяния света гармоническим кристаллом, описываемому также выражением (3.68). Вообще говоря, при Т ф О S (А©) является сложной функцией от Асо, а также функцией индексов ветвей, однако при Т — 0 для 5(Асо) приближенно имеем
5 (Асо) ~ pL (Асо), (6.39)
т. е. эта величина воспроизводит приведенную плотность состояний, входящую в (3.68). Тем не менее взаимосвязь между излагаемой здесь многочастичной теорией рассеяния и описанной выше теорией критических точек, очевидно, устанавливается на основе соотношения (6.38).
Имея в виду область двухфононных состояний, Каули [43] детально проанализировал вклад, соответствующий определенным диаграммам. Он обнаружил, что в некоторых случаях может возникать противоречие между условиями, которые должны выполняться для того, чтобы наблюдался двухфононный процесс
Взаимодействие излучения с веществом
73
рассеяния, и условием того, чтобы в спектре была резкая особенность, связанная с двухфононной критической точкой. Он пришел к заключению, что вклад двухфононных процессов будет велик, если колебания имеют малое затухание; в этом случае должен наблюдаться пик, соответствующий изменению частоты фотона:
Ди = и (k | /) + 2co (ft | /) A (kj, со (k | /)) +
+ со (- k I п + 2® (- k \ п А (- kj', (o{—k\ j')), (6.40)
т. е. соответствующий двухфононному пику гармонического кристалла, сдвинутому за счет вещественного вклада от собственноэнергетической части. Ширина пика определяется суммой
Г (kj, со (к | j)) + Г (- kj', со (- k | j')). (6.41)
Согласно этому результату, для наблюдения двухфононного пика энгармонизм должен быть большим, поэтому пик будет широким. Однако если фононы гармонического кристалла становятся затухающими, то могут нарушиться и все особенности поведения спектра вблизи критических точек. Эти вопросы, по-видимому, не получили еще полного и однозначного решения. Необходимое количественное сопоставление с опытом не было еще проделано на том уровне, чтобы действительно определить для данных материалов, когда эффект конечности времени жизни фонона приводит к отсутствию резкой зависимости, соответствующей критической точке.
