Пространственная симметрия и оптические свойства твердых тел. Том 2 - Бирман Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Фермиевские электронные операторы обозначим
(6-78)
где k — волновой вектор, р= v (или с) — индекс зоны, соответствующий валентной зоне (или зоне проводимости). Введенные операторы удовлетворяют соотношениям антикоммутации
{%• (в-?9)
Фононные бозе-операторы обозначим
bki, bih (6.80)
где k — волновой вектор фонона, / — индекс ветви. Бозе-операторы фотонов обозначим
<*+, <6-81)
84
Глава /
где т] — волновой вектор, а а — поляризация фотона. Бозе-опе-раторы удовлетворяют коммутационным соотношениям
\bkj, == 6*, h'bjj', (6.82)
К*> = \,Аа'- (6-83)
Гамильтониан системы без учета взаимодействия записывается в виде
= ? е р) ctckP + Z h&k {btbk + у) + ? Й® (Ч, от) а+ ал0.
Ар П» 0
(6.84)
Здесь первое слагаемое соответствует электронной энергии, причем величина e{k,p) равна энергии одноэлектронного блохов-ского состояния зоны р\ второе слагаемое представляет собой энергию фонона в гармоническом приближении; последнее слагаемое равно энергии поля излучения. Энергия двухчастичного состояния диэлектрика [например, состояний а и Р в (6.77)], выраженная через энергии одночастичных блоховских состояний &(k,p), равна разности между энергией возбужденного электрона и энергией возникшей дырки. Таким образом, разность
Йсоа = е (к — к', р) — г {к, р') (6.85)
представляет собой энергию возбужденного электронного состояния, например состояния с одним электроном в зоне проводимости и одной дыркой в валентной зоне: р — с, р' = v. Далее выпишем слагаемые, соответствующие взаимодействию
Yif(k, Л, v, с)а_ с+_ с +компл. сопр., (6.86)
кц vc II.
где f (ft, т), v, с) — функция, определяющая взаимодействие, которую можно записать в виде
f(k, Tj, v, = • p\v). (6.87)
В (6.87) входит матричный элемент межзонного (v — с) взаимодействия. Запишем разложение
eix\-r __ (1 _[_ ^ . т _]_ > t ^ (6.88а)
Если использовать только первый член разложения (6.88а), то (6.87) переходит в выражение, соответствующее дипольному приближению:
\{к, ч, v, с) = •(/»)«,. (6.886)
Взаимодействие излучения с веществом
85
Здесь использована сокращенная запись матричного элемента импульса. Члены более высокого порядка в (6.88а) соответствуют магнитным дипольным, электрическим квадрупольным и т. д. переходам; они играют важную роль в некоторых случаях резонансного рассеяния, одиако в этом параграфе мы ими пренебрежем. Слагаемое, соответствующее электрон-фононному взаимодействию, записать труднее, так как для этого необходимо знать механизм взаимодействия. Рассматривая взаимодействие электронов зоны с фононами через потенциал деформации, получим
k'> Р> /О р'с*р + компл. сопр., (6.89)
где
g(k, k', р, р') = k (р'\&\р) = (^7) к 2р> (6.90)
В конкретных случаях может быть как р = р', так и р Ф р'. Члены более высокого порядка будут рассмотрены ниже, в п. ж данного параграфа.
Таким образом, необходимый для расчета однофононного комбинационного рассеяния света гамильтониан в представлении вторичного квантования описывается формулами (6.84), (6.86), (6.87) и (6.89). Ясно, что нам следует описать процесс, при котором происходит переход из состояния гР,- в состояние через промежуточные состояния 4;jnt- Непосредственная проверка совокупностей операторов, входящих в (6.86) и (6.89), показывает, что для интересующего нас процесса требуется, чтобы совокупность операторов 2/в ercMo el96 er, действуя на Ч*-,-, давала функцию Ч*). Это, очевидно, процесс третьего порядка. Вычисление членов ряда теории возмущений третьего порядка можно выполнить в компактной форме, произведя каноническое преобразование [49]. Рассмотрим для этого не зависящее от времени уравнение Шредингера для полной системы «излучение + вещество»
MW = E4, (6.91)
где Ж — полный гамильтониан. Найдем каноническое преобразование, приводящее к новому гамильтониану Ж и имеющее
вид
e~iS^eiSe~iSW = Ee~iSW, (6.92)
так что и
Ж = e-is36eis = e-{SW.
(6.93)
(6.94)
86
Г лава 1
Используем теперь хорошо известное операторное тождество
= Ж - i[S, Щ_ - ^[S, [S, ЗЩ]_+ ... . (6.95)
Выберем функцию S, определяющую преобразование, таким образом, чтобы
г [5, Жм + Жк]_ = 3@er + 3&EL' (6.96)
Причина для такого выбора станет ясна из последующего. Не-
трудно определить оператор S в явном виде. Будем руководствоваться тем, что должно выполняться соотношение (6.96). Выберем в качестве пробного оператор вида
S= Е q>! (kx\vc) g {ki\vc) a+c+ Cck v +
k\\VC
+ ? Ф2 {kk'pp') f (kk'pp') bpif ,a (6.97)
kk'pp' ’ H H
где ф! и ф2 — неизвестные с-функции. Подставляя (6.97) в (6.98), сразу же получим
Q = Л!Л V I f (kk'pp') b+,c+_k, p,ck< p |
V i ) L~t 1 e {k, p) — e (k — k', p') — Acok, J '
kk’pp'
h v 8 (feT1cv) a-4Ck-4, Cck, V , /c nol
to (e(ifc'I.r„ с) - в (*; ,)У + К0МПЛ- сопр. (6.98)
kr\VC
Если подставить теперь (6.98) в (6.95), то для преобразованного гамильтониана найдем
ж=эвм+эвк + i [s, mER+жЕ1]_ -1 [s, [s,m\\_+.... (6.99)
Рассмотрим теперь преобразованную волновую функцию (6.94)
+(1)1
ху
= (l+ (6.100)
Поскольку каноническое преобразование в качестве членов наинизшего порядка в (6.99) сохраняет Жш + 36r, будем считать, что можно использовать волновые функции в наинизшем порядке:
