Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
водные по времени равны нулю, т. е. р -> 0). Прн этом отношение свободных членов в выражениях Q (р) и Р (р) равно «равновесному модулю» материала Еж.
С другой стороны, при весьма быстрых деформациях материал ведет себя как упругий с модулем Е0 («динамический модуль»). Отсюда
нт <2(Р) _Е „>» Р(Р) ~Е°-
Следовательно, старшие члены полиномов Q и Р имеют одинаковую степень и отношение коэффициентов прн ннх равно ?0.
Итак, зависимость а, е может быть представлена в виде
(Птрт + Пт_1рт 1 -f- ... -J- l) а = (?0Ятрт -)- Qm-iPm 1 +
+ Ят-гРт 2 + • • • + EJ е.
Выбирая степень полиномов н значения входящих в них коэффициентов, можно аппроксимировать реальное поведение материала.
214 Пластинки и оболочки из стеклопластиков
Простейшая модель линейного упруго-вязкого тела может Сыть получена, еслн положить т= 1 н обозначить -L— = т.
В этом случае
?оР+4^
1=---------Д-.
р +
Так как р — , то уравнение, связывающее а н е, — дифферен-
циальное:
е.
(2)
Материал, свойства которого описываются уравнением (2), называют обычно стандартным линейным вязко-упругнм телом. Легко вндеть, что стандартное вязко-упругое тело моделирует процессы последействия,
восстановления и релаксации напряжений.
Так, еслн мгновенно создать деформацию е0, в теле возникнет напряжение oe—Ef/E0; если затем сохранять деформацию постоянной, изменение напряжений будет определяться уравнением
da , 1 Я»
-ЗГ + “а-~Т~?о
Рис. 2
Решение этого уравнения с учетом начального условия *=0* а = ае имеет вид
t
° = ?'соео+ [?о — ?<*! «0е
Закон изменения напряжений показан иа рис. 2. Константа т представляет собой время, в течение которого неравновесная часть напряжения (о — ам) уменьшается в е раз; эту константу называют иреме-нем релаксации.
Действительный закон релаксации напряжений для полимеров обычно отличается от экспоненциального; вначале напряжения падают быстрее, а затем — медленнее (см. штриховую линию на рис. 2). Чтобы получить лучшее количественное совпадение с экспериментальными данными, следует отказаться от модели стандартного вязко-упругого тела н учесть большее количество членов в выражениях Р и Q, однако при этом возрастают трудности расчета.
Представление модуля Е в виде оператора позволяет чрезвычайно упростить решение задач вязко-упругости.
Упругость стеклопластика при плоском состоянии 215
Так как операции дифференцирования и интегрирования по времени н по пространственным координатам взаимно независимы, оказывается возможным разделить решение задачи на две части. Сначала решается упругая задача, причем Е считается константой, а затем в полученных формулах Е заменяют оператором (1) и полученное дифференциальное уравнение по времени интегрируют с учетом начальных условий.
В случае нулевых начальных условий полученные после решения упругой задачи выражения напряжений и перемещений, включающие оператор р, можно рассматривать как изображения соответствующих величин по Лапласу—Карсону и для нахождения этих величин в функции времени использовать формулы обращения (при этом нагрузки, меняющиеся во времени, также предварительно должны быть заменены своими изображениями).
Следовательно, первым шагом в расчете конструкций из полимерных материалов является упругий расчет. Он является окончательным, если рассматриваются весьма быстрые илн, наоборот, равновесные процессы деформирования. Для изучения деформирования с учетом релаксационных процессов модуль упругости связующего заменяется оператором н решение обращается.
УПРУГОСТЬ ОРИЕНТИРОВАННОГО СТЕКЛОПЛАСТИКА ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Стеклопластик составлен нз материалов, резко различающихся по жесткости, — стеклонитей и связующего. Прн расчете конструкций целесообразно осреднять свойства материала, рассматривая его как однородный с анизотропными свойствами.
Такое рассмотрение допустимо, так как размеры конструкции всегда великн по сравнению с размерами элемента структуры (например, с шагом стеклонитей).
Вместе с тем оно не означает игнорирования действительной структуры материала, так как свойства композиции могут быть выражены через свойства составляющих, а по напряжениям и деформациям, рассчитанным для квазиоднородного материала, могут быть рассчитаны напряжения и деформации в стеклонитях и связующем.
Ниже рассмотрен приближенный способ и, расчета, предложенный применительно к ре- — зннокордным конструкциям А. А. Лапнным [81, а для стеклопластиков В. В. Болотиным (2].
Каждый слой однонаправленных стеклонн- ц)
тей со связующим (слой стеклошпона, рнс. Рис. з
3, а) моделируется в виде пластинки, составленной нз чередующихся слоев стекла и смолы (рнс. 3, б). Коэффициент ? представляет собой объемное содержание стеклонитей в данном слое. Затем рассматривают плоское напряженное состояние такой модели (рис. 3, в). Здесь alf a2, т12 «средние» напряжения в модели, т. е. отношения соответствующих усилий к площади поперечного ее сечения.
216 Пластинки и оболочки из стеклопластиков
Условия равновесия и совместности деформаций слоев наполнителя и связующего приводят к следующим уравнениям:
