Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
+ ( #22 Q Г ci2 Q > 22 у •*•
(“)
w = и (Cjk) V; (51)
ы=if ¦ i+тЬ^1С22Кп _ с,г {Kl2 ~ 2K°s)] х
х w ‘ ~di'W~+ cir [С“{Ki*+2Кы>) ~ {Cl2 + Cee)I х
202 Анизотропные цилиндрические оболочки
¦ + т,—т\ [Сц/Сгг — Сп (К 12 + 2/Ссс)] X
X
__________
Q * Й5 ар5 1 CeiQ
о5Чг 1
¦ + г- <»' [Си (^12 + 2/Свс) — К и (С„ + Свв)1 X
1
А2В3 ' да2 срз 1
X
дъцг
1
1 дзг?
Л4В da4 dp R Q Ba dp8 1/1 С|2\ 1 ds,F
R \ Ст Я ) А*В ' да? <ЭР '
(53)
Коэффициенты жесткостей, входящие в расчетные формулы и уравнения:
m-{-n—N
с*-
2 6M6s-6s-0;
S=1
, m-\-n=N
4 v ”• "*
2 в/Л65-^-0;
S=1
j tn-\-n—N
Dik = -r 2 О-
s—1
(54)
Здесь принято, что координатная поверхность (a, Р), (у = 0) совпадает с нижней (внутренней) поверхностью оболочки; N = т 4 п — число всех слоев; б5 — расстояния поверхностей контактов слоев (см. рис. 5 гл. 7) от координатной поверхности (a, Р).
Коэффициенты упругости
R‘ -
°и —
Е‘
1—vjv-i ’
Bio
В-22 =
pt
1
^66 — ^12 5
1 — Vlv2
1 — v{\’2
где E\, ?g, Vj, vj, Gj2 — модули упругости, коэффициенты Пуассона и модуль сдвига для главных направлений упругости материала каждого слоя оболочки.
В частном случае, когда оболочка составлена из нечетного числа (2т 4- 1) слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности оболочки, которая является координатной поверхностью 7=0 (см. рис. 10 гл. 6), для жесткостей получим
С* = 2
Dik~ з
B?k+lflm+l + 2 BSjk (hs — fts+l)
s—1
m
B%+lhl+1+ 2 B*k(hl-hl+l)
S=1
Kjk = 0.
(55)
Интегрирование уравнений технической теории 203
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МЕТОДОМ ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Рассмотрим два варианта круговой цилиндрической оболочки.
Круговая цилиндрическая оболочка замкнутого профиля. Оболочка ортотропная многослойная. Главные направления упругости совпадают с координатными линиями а = const, Р = const. Оболочка перекрывает прямоугольный плаи (arX by) и имеет размеры: по образующей — а; по дуге поперечного круга — Ь, радиус кривизны координатной поверхности — R.
Начало отсчета координат а и Р помещается в каком-либо углу оболочки. Система координат выбрана так, что коэффициенты первой квадратичной формы А к В были равны единице [см. соотношения (4) 1.
Оболочка свободно оперта по всему контуру (шарнирные, свободные в тангенциальном направлении края) и несет нормально приложенную нагрузку 1 = 1 (а, Р) (см. рис. 7).
Разрешающим уравнением может служить уравнение (42).
Граничные условия:
при а=0, а = а v—w=T1=M1 = 0', ^
при Р = 0, Р = b и — ш = Т3— М2 = 0. j
Искомая функция У (а, Р) должна быть определена так, чтобы при заданной нагрузке Z удовлетворялись разрешающее уравнение (42) н граничные условия (12).
Решение, удовлетворяющее граничным условиям (56), запишется [1, 2, 4] так:
ОО оо
1» V' . шла пяР
?= 2j 2j AmnSm~r~sm —
m=sl n=\
(m. n = 1. 2, 3, . . .). (57)
Нагрузка Z = Z(a, P) также представляется в виде двойного
ряда Фурье
ОО 00
VI шла . яяб
2j 2j amn Sln ~sm “т-*
m=l n=\
где
a b
amn == | | Z(a. P) sin sin ¦ПП^> dad^. (58)
о о
После серии известных преобразований получим
у=4 У у sinSsin^P.
я8 Xj Дтп a b
m—1 п=1
>04
Анизотропные цилиндрические оболочки
Нормальное перемещение
а4 VI Лтп • mlt« nltP
ш:= т? 2аатп '
т п
Внутренние силы
т п
п2 . тпа . штВ X -т---sin ----sin ——.
т2 . т па . ляВ -I--sin ----------sin
»-?-т2 2Чт<-+*')
m п
тп тп а п п 6
X -г cos-cos —г— .
Д тп а Ь
Внутренние моменты
м'=-5- 2 2 {fDn ~ D?i) m<+(Di2 ~ d?2) nV] Л"!
n
m я
/ ~ a2m2 \) omn . ---- .
xf^ + TS?-) 4^™ —™
mna . nitP
b
I [(°22 ~ *4) ^ + (DU ~ D<k) b'mn +
m n '
_j_ ^ Kl'jCii — KllCyi n2^2 ^22^11 Ki«C12 m2 J x
/.- , а2т2 \) a„„ mita nitfi
* (*"» + w)} т^г™ —sm —;
« - 2 Z «m, Г* (D« - *&) д;„ + 'S
m n 66 \
mti mna nnft X -I------cos ---------cos
b •
Интегрирование уравнений технической теории __________205
Напряжения в слоях т п
~ %Clg + в\2 КмСп ~ Kl--~ — Yв[2) п2к2+ (в‘иКи<?” -уВ‘и + В\/^-К^) т2] Дт„}
а„ш . mzioc n3t6
X ¦ ¦ sm------sm —г— ;
Amn a b
4" ?^22'
+
, AllQo — Kl^U • \ „,2 , ( Ri K22C11 — KuPlS _
4 fib---------ii--------------------------------Y12) m +[B22 ?
-ув^ + в{2^-..^»)я2ха] дтп)
X
@tnfL • ttlTiCL . /13X6
sin — ^ ——
оЧ2
X -. - sin-------------sm
Amn с b
X
mn mna ляб
X г cos ——- cos —r1-
Amn a о
06 Анизотропные цилиндрические оболочки
Здесь, наряду с принятыми выше обозначениями, использованы Д(пл = Рхт8 + P-jjnsn2k2 + Рът*п*№ + P4man6Xe + Р2п8Хн +
+ 2 (Qtme -f Q3m4n2№ -\- Qim2nik'') + ш4;
К-—-Ъ ’
Л' ^11 „4 , ! 1 о С12 \ -~2„2i2 1 С22 ,4л4.
Л™="?ГШ +l C^_2_Q"j'n"X
4" ^12^-11 — АцС12 т4 , / /СгаСи К12С12 о Кее »
Q.- т + V о
j КцС2г — КцСц ^ т2п2%2 _|_ K12C22 Kz2.Cn
В случае, когда оболочка загружена сосредоточенной силой Z = —Q, гормально приложенной в произвольной точке (а = х, 'f> = у), из вы->ажения (58) для атп имеем
40 тп х . ппи
— sin —— sin
™ ab а Ь
(m= 1, 2, 3, . . я= 1, 2, 3,. . .).
В случае, когда оболочка загружена нормально приложенной рав-гомерно распределенной нагрузкой с интенсивностью q, т. е. когда I = —q, для атп имеем [см. формулу (58) ]
