Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
4- r%nl$ (Px) + УЩ&(pj]
X [/$V°«p (P) + V2Р%АМ°Вф) + R%NLtp (Px) -- V2RfAM^G (Px).
Формулы для определения напряжений (81) и перемещений ост» ются без изменений.
(109
(110
(111
Краевой эффект в анизотропных оболочках
181
Граничные условия, как и в общем случае, ничем не отличаются от граничных условий изотропной оболочки вращения.
Приведем три основных варианта граничных условий: край Р = 0 свободен
/V°= 0; Л1°=0; (112)
край Р = 0 шарнирно оперт
М? = 0; о> = 0; (113)
край (5=0 заделан
R%N° + = 0; ш = 0. (114)
Соответствующие граничные условия по краю Pi = 0 имеют вид
Nl = 0; Alf = 0; (115)
0; ш = 0; (116)
R^Nl — V2R^M^ = 0; w = 0. (117)
Для нормального перемещения ш из формул (77) имеем
w = -пТ2 Т Cl2Tl ¦ г cos О + ( е°2 + (7ш5т# +
_[_ S'22^1 ^ cos ft j ds} sin &. (118)
Для иллюстрации разберем несколько примеров.
Пример 1. Длинная цилиндрическая оболочка снабжена двумя недефор-мируемыми днищами, которые в осевом направлении могут перемещаться. Края оболочки заделаны в днищах. Оболочка нагружена равномерно распределенной нормальной нагрузкой интенсивностью ц- Раднус кривизны оболочки jR, длина L.
Пользуясь формулами (66)—(68) для членов, отражающих нагрузку, за пишем
?2 = 0; Р°=яД2?;
R2
^1= — QI /?2 = — QRs,
(119)
гак как для цилиндрической оболочки ф =s 0, г ~ R, а как нижннй предел интегрирования взят s0 =г 0.
Пользуясь формулами (110), (111), (118), значениями членов (119) и удовлетворяя граничным условиям заделки (107) н (114), для начальных параметров получим
д0 „ Си — 0>5Ct2 уГ 2R ^ __ ctl — 0,5С1а лГ 2 R
Сц » Д Сц • Д
____ RQ ж Си OtSCtg # # ?м — МСц .
^ д Cti ^ д Сц
182
Анизотропные оболочки вращения
(к>дставляя значении начальных параметров в соответствующие формулы, для расчетных величин получим
г. = -?-«; г. *= {1 — Сч> CP) -I- ф CPiil} «<?;
W'=-^? <с„ -0.5С,,) {I -[<р(Р> + Ф (Р,)]}.
W —
Нч
ad„
У2?--
?11 —0.5СД1
IE (Р) -Е (Р,)];
i п с,.
os = Rq —-
— 0,5С„ | ДП С„ I О
[ф(Р)+Ф(Р.)1-
УДП
ДО.,
И> <р> +
о® = — Пч
Сц —0.5Сц
_ ftq ^ 2й11 ~ *12 j
(А
I а
yb(2
|-[ф(Р) + «р(Э,)1+Ж7
№ (Р) +
Ч> (Р.)]} -Rq ^ д22~2д21 j
Пример 2. Полубес конечная цалвидриче' ская оболочка загружена силами (интенсив'
загруженного сечения, которое находится на расстояния Ь ^ t = Ъ У 2^") от свободного
конца оболочки. Начало координат sap помещается я плоскости ееченяя свободного конца оболочки (рнс. 14).
Задачу решают методом наложения двух решений. Не вдаваясь в многочисленные подробности [1 ], приводим окончательные реаультаты. На участке 0 < р < J
»« - 9 4^ ‘ "~0^” V^ I* « ~ W + *• <Р> •(») + ¦ <Р> ¦ <*)} -~т~§~' 'ТГ" 4 В t * - Р> + • <» * »> + ¦ «W * <*>*
[— Е (* — Р> + Ф (Р) 8(0 + 8 10) Ф(0] +
+ т
2D,, ]/~2Яд
[Ч> <* - Р) + Ф (Р) Ф (О + 28 <Р) 6 (О];
У -—* -f -1* (* - М - ¦ (W • (О + Е №> ¦ t О) -
-т-2- У-щ [Ф <* - Р) - Ч> <р) Ф (О +2Е (Р) I UU;
[_ * ц -р) +2t (Р) • (О + v <Р> Ч> (0J -
2/2ЛА
— «я -j- [В (< — Р) — Е (Р) ф (О — Ф (Р) 8 (О;
Краевой эффект в анизотропных оболочках
183
ЛГ = - [И* — Р> — Ч> (Р> НО + С <Р) Ч> (01 -
“ т Т KS [Ф « - Р> - Ч> (Р) Ф (О +2Е (Р) 8 а)]; т,-------<7 -J- ~\f 2^- [ф U — Р) +26 (Р) в (О + Ф (Р) (01 -
- m [t (t - р> + В (р) Ф (() + ф (р) в (f)J.
На участке t < 0 < оо
»= - в -§~ • -%*- j/"2^- 1Ч> (Р ~t) +2в (Р) В (О + Ч> (Р) ф <01 + + m -§- • 4 IC <P - О - в (P> ч>«) — Ч> (P) в (01;
w' = К tf- « +Ф <*> • «) + в (P) 4> (0 +
+ m----^__№(р_/)+ф(р)ф(0+2е (p) 6(0;
2D„ J^2«i
У = (e (P - 0 + * (P) 6 (() - С <P> 4> «)] -2^-[Ф(Р-0-ф(Р)Ф<0+гг(Р) B(()l;
M, = « *— ¦ [— Ч> (P — t) + 2; (P> в (О + ф (P) 4> <01 +
2^2Кд
+ m-l-[B(Р-0+С(Р)Ф(0+Ф(Р) M01; w = [в (p - о + ф (p) e«) -1 (P) t (01 --mT V-г|-1Ф<Р-0-ф(Р)Ф(0 +2|(P) B(l));
T, = -q ~У 2^-[ф (P-O+26 (P) 6 (O+lMP) 4>(0] +
+ m -§- к (P - о - e (P) ф (о - ч> <P> • (01.
Приведенные здесь результаты можно использовать для решения многочисленных задач бесконечных и полубесконечных цилиндрических оболочек, осесимметрично загруженных различными способами [1 ].
Пример 3. Замкнутая коническая оболочка загружена равномерно распределенным по опорному контуру (s =* 0) оболочки изгибающим моментом интенсивностью m (рис. 7 н 15).
Для срединной поверхности рассматриваемой оболочки, как известно, имеем
д = «о; г — (s' — s) sin а;
1 cots а _ ctgq ф —а
/?1 Я Г S/ — S ~ '
где s' — длина образующей оболочки; 2а — угол конусности.
184
Анизотропные оболочки вращения
Из формулы (98) для Р получим
0 = — Vi и ctg a (Vs' — s — Vs7)-Для членов, выражающих нагрузку, имеем
= 0;
Начальные параметры
Mj = m; W° = 0; Л<{- = 0; NL =0.
Тогда нз выражений (109)—(110) для основных расчетных величин получим т
W =
д?>!
•/где' tga 6 (Р);
V = — т V2 as' tga? (р);
т
Т% —
s' — s
V2 as' tgaf (P);
T, = — mu \/Г-~TJ 4> <P>:
W =• —tga ? (P);
Л<.
Dn K2 As' tga
8 (P)*
Напряжения в слоях и перемещения можно определить с помощью формул (76), (77), (80). (81) н (118).
Еще раз укажем, что полученные здесь результаты теряют смысл в окрестностях вершины конуса, так кан предлагаемая здесь теория расчета оболочек
