Прочность устойчивость колебания - Биргера И.А.
Скачать (прямая ссылка):
дТ\ , dS^______________у.
да Т ар ~
dS
Г2 = RZ. дТ2
— У.
(5)
Из формул (3) для деформаций получим ди
да
dv , w
Ег = 'Щ + ~R
ди до Ы ~ dp да
(6)
Для соотношений упругости из выражений (5) в силу уравнений (2) и формул (7)—(9), учитывая, что координатная поверхность у = О, получим
8i = ~jj~ (fhiTi + «is?» + aleS);
(а1чТ\ + -(- o2eS); (7)
о) = —j— (axe7\ -j- aieT2 + дез-
интегрирование систем уравнений (5) и (6) может быть выполнено до конца в общем виде [1, 3, 5]. Покажем это на двух примерах.
Првмер I. Горизонтальная круговая труба (радиусом R н длиной L), один торец (а — L) которой закреплен полностью, а другой (а — 0) свободен, целиком наполнена жидкостью удельного веса р.
Собственный вес трубы не учнтыиаем. Угол Ц> = - отсчитываем от нижней
К
точки трубы (рис. 4).
Имеем следующие граничные условия:
и компоненты поверхностной нагрузки Л=0; Y= 0;
а = 0 Г, =0, S = 0; | а = JL и = 0, t; = 0 /
рузки
; z = Rp ^
I 1 + cos
(8)
(9)
Из уравнений (5) в силу условий (8) и (9) для ннутренних сил получим
190 Анизотропные цилиндрические оболочки
Из Выражения (6) и (7>. учитывая соотношения (8) и (10), для перемещенив
получим
и = -j|- |а,, -—cos •+- а,s (а — L) К* + cos-|-j +
-1‘
+.„>^=4:
г = Hr [пГ i3aL' ~ 2а'~ L* >eos Hr +
(й \ о*—t* Й
1 + cos -?-j + а.,-5— R sin +
+ T*(aL’-JT--TLt)sin-$r +
+ °» R sin Hr] :
• == Hr [ffiT (“^ ~ JT —T L*)cos Hr ~
— a„Ra ^1 + cos-j~j + a„R ^a* —ai. +-|-j cos Hr + +• o„ — ~ — R cos JL + (2a* + JL* - 3a/.') sin -
— flu (2a — L) R‘ sin-
]
(И
Пример 2. Замкнутая цилиндрическая оболочка произвольного попере» иого сечения [радиус кривизны /?*=/? (Р), длина L] несет равномерно распределенную, нормально приложенную поверхностную нагрузку ннтеисн» ностъю q Один нэ торцов оболочки (а = 0) полностью закреплен, а друго торец (a = L) совершенно свободен.
Имеем следующие граничные условии:
при а —0 и = 0.ч = 0; |
прн о = L 7 , = 0. 5 = 0 /
и компоненты поверхностной нагрузки
Л = 0; У = 0; Z = q.
(12
(i3
С помощью уравнений и формул (5)—(7) в силу условий (12) н (13) для шнй
внутренних сил и перемещения получим
lL-оУ d'R . „
Т, = <?--5----^r. T.=*Rq,
S = <HL — u) ¦
2 dp*
dR dP *
(14
Б езмоментная теория однослойных оболочек
191
° о I h а \ df{ _1_
« = eTM+«..|t-Tj-y + I L‘
+ в**(“2---
v= Q -J- — |e„
//.* , a‘\d‘R
“»*( 2 L + 3 J dp*
v = q |оцй -Ьаи(^ — 2a) ^ -f |°u | + fllj
/, o* NT d*/? /OL1 , a“\ d‘R ,
e“ ( 2 )J dp* “*• ( 2 + 3 ) dps +
aL a* ^
Т" + ldp*J
а { , о
1 2 5
1 faL* аЧ1
-All [~ 6
,'a*L* a'i. , a* \ d*«
+ o„ I—------------------6~ + -24
m-
(15)
Рассмотрим численный пример. Во-первых, пусть оболочка имеет эллиптическое поперечное сечение (рис. 5). тогда
Л =
*•
а _3_ '
(1 — в* cos* ф) 2
е* = 1-
Ь2
dR
dp
е* sin 2ф 1 — е* cos* ф ’
4‘R За , cos 2ф — в* cos1 ф _8 . -
dP
К 1 — е‘ cos1 ф
7F = jr 8,[,~Т е*-4е* (‘-T'j008’ tfj Sin 2^;
3
=!^Le* (l-e*cos**)2 1
К‘-т-)
---5* e* -------\ <cos* ¦ —3 sin* 4j>) cos* -фJ •
Пусть далее оболочка изготовлена нз ортотропного материала со следующими упругими характеристиками:
?i г» 2* 10е дан/см*; Р2 = 0,5- 10е дан}смл\ vt =* 0,2; v, = 0,05; G = 0,455* 10» дан/см*.
Однако оболочка иеортотропная, так как материал в оболочке расположен гак, что в каждой точке оболочки одно главное направление упругости мате* риала совпадает с координатой у, а остальные два не совпадают с координатными лнннямн а н Р. а направлены так, что в каждой точке оболочки главное направление упругости с индексом 1 с направлением а составляет угол ф — = 30° (рнс. 6).
Тогда с помощью формул (14) гл. 6 для упругих постоянных а^ в 1Лавиых направлениях a. 0 найдем
о,, = 0,781. 10~* смЧдан-, а„ = 1.531- 10~* смЧдлн\
а1г = —0,006. 10~® смЧдан; о„ = 2.575- 10~‘ смЧдан-,
о,» = —0.541. 10“6 см*/дан; о„ — -0.758- 10'® смЧдан.
[92 Анизотропные цилиндрические оболочки
Располагая приведенными данными, легко определить внутренние силь. i перемещения в трубе эллиптического поперечного сечення. Ввиду того, чт* рассматриваемая оболочка внешне статически определима, внутренние силь рассматриваемой анизотропной оболочки не отличс ются от внутренних снл соответствующей изотропное оболочки.
Перемещения определим в сечении a=L. Огрь ничимся рассмотрением точек оболочки тх (*ф = О
и m* IV =
0,5, а
Для конкретности полагаем такжь принимает три
отношение
L
L
Ь
3. 4|
различных значения = 2, 3. 4^ .
Представляя перемещения (b, h в см', q в дан!смг
Ьг •д Ьг
и ~ q Ки’ Ю см; v-=q
X
см; w -
для коэффициентов Kf- получим величины, помещеь
ные в табл. 1.
1. Значения коэффициентов Ки
К»,
OP
L b 0 л 2 0 л ТГ 0 л T
«и KV Kw
2 —2,39 4,68 —7,68 2,49 82,40 —35,88
3 —7,98 15,81 —14,57 9.81 186.96 —150,60
4 —18,85 37,49 —25,12 24,48 392,80 —440,56
В частном случае ортотропиой оболочки в точках mi и тя тангеицнальньк. перемещения v аналогично изотропной оболочке обращаются в нуль. Здесь жь. в достаточно общем случае анизотропии, точки mt и тг имеют тангенциальны! перемещения v того же порядка, как н тангенциальные перемещении и.
