Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
поверхности которых образованы вращением кривых второго порядка вокруг их
осей симметрии Для них
Я в ----------------; ЯФ = - гт- • (Л)
(I -I- X sin20) ,а ' (1+Х sin20) /s
При этом х ^ 0 отвечает сфера, X ~ - 1 -параболоид. //> > - 1 -
эллипсоиды, а % < -1 -• гиперболоиды.
Иногда срединную поверхность относят к цилиндрическим координатам г, ф,
х. Имеют место соотношения (рис. 2)
о
г = Яф sin 0; х - Ац = J Ri, sin и d0. (4)
ДЕФОРМАЦИЯ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Перемещения срединной поверхности характеризуются величинами и, v, w или
ur, v, их (рис. 2), связанными между собой равенствами
иТ = и cos 0 + ш sin 0; их= и sin 0 - ш cos 0. (5)
Повороты краев оболочки, совпадающих сослветственно с координатными
линиями ф и 0, выражаются через смешения следующими соотношениями:
i> -------------- ( 4^ и \; ф = р \ - sin 0о ) • f6)
Я" \ dO / Яф sin 0 \ дф /
Деформацию срединной поверхности описывают шестью компонентами
1 ( ди \
^ r, (ае " "'J5
= дф',по (-^-+"с°во-га..Ь1ле);
1 dy cos 0 1 ди
^ ~ Rq д0 ЯФ sin 0 1 Яф ын 0 дф *
х' = -Ж'ж[ж(ж-")]: 7
I / д2ш до \
К(р (Яф sin 0)2 \ дф2 51,1 дф j ~ cos 0 / dw \
Яй Яф sin 0 \ д0 / *
т" ""йГ'ав [ s,s.n8 (лГ _ sm6°)]
I 1 ( ди \
Н 7Г 1 Т-------------COS 00 ,
Rrj Яф sin 0 \ дф }
656
Общий случай деформации оболочек вращения
При этом е6 характеризует растяжение срединной поверхности вдоль линии 0,
вф - растяжение вдоль линии <р, у - сдвиг срединной поверхности, у.ь и кф
- изгиб срединной поверхности соответственно идоль линии 0 и ф, х - ее
кручение.
Деформация края оболочки, совпадающего с параллельным кругом,
определяется четырьмя величинами (см. стр. 635)
При этом первые две из них описывают изгиб (искривление) граничного
элемента соответственно из плоскости параллельного круга 0= const и в
ней. Третья характеризует скручивание граничного элемента, а последняя -
его растяжение.
Выписанные компоненты деформации края подсчитывают по величинам (7) с
помощью следующих выражений:
л, = кф cos 0 + Кф,, sm 0; у.х = Хф sin 0 - Хф" cos 0; (9)
Компоненты деформации удовлетворяют уравнениям неразрывности срединной
поверхности
(10)
ЛУф ыи 0з<ф dO
+ 7j~ +cos0ee - (J;
/> _ i
d"j) sin 0
R, ^ Rv
1 I в I dRy sm (Jev i ду
RbR4 sin 0 1 dO | Rede ~ ~2~' Щ
{
Равновесие оболочки. Определение напряжений 657
РАВНОВЕСИЕ ОБОЛОЧКИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
Напряженное состояние в точке оболочки, отстоящей от срединной
поверхности на расстоянии ? (по нормали), определяется тремя комно
центами: щ - нормальное напряжение на площадке с нормалью, параллельной
координатной линии 0; аф - соответствующая величина для линии ф; с6ф -
касательное напряжение на тех же площадках.
Введенные напряжения связаны с усилиями и моментами следующими
соотношениями:
гг " Ли) ______(н). _ _ (Лр) _• ?_"(").
ов - а9 -г 0 hh Ои , овф - сщ 0>5ft сн ,
ч> °ф о,5А <Р '
где h - толщина оболочки;
(12)
(13)
(14)
Положительные направления усилий и моментов показаны на рис. 3 Напряжения
о^р), О"*', aipl называю! тангенциальными (цепными, мембранными), а off*-
- изгибными. Максимальных
_ . а " а6ф • т h ' _ Мр л
6М" . _("/) 6 Н J&) 6М,
¦ я- ' а6ф л2 • ф ~ л8
658
Общий слуний деформации оболочек вращения
значении напряжения достигают либо во внешних волокнах оболочки (при
?=+4)
~ 4^ + 4W>* = + 4?; =¦= 4f * "I" °фЬ>'
либо во внутренних ^ при ? - - ^
Cb^clp)~G["h a^ = ag> -оЦ>; с~ - а{?> - cj"K (16)
На границе, совпадающей с параллельным кругом (0 = const),
можно задавать следующие статические величины (рис. 4):
Qb - Мц', (/gv = Т + -g-; Mb;
r> * /дД.р sin 0Mfl , _ дН ... \
Qsn " R" sin 6 ( П^Вв ~dtp cos (r) v J • (17)
Вместо Qg и Qe" удобнее рассматривать горизонтальное Qr и вертикальное Qx
усилия
Qr - cos 0Qe + sin 0^з"; Qx = sin G<?e - cos OQo-i-
Усилия и моменты удовлетворяют уравнениям равным ия dRtp sin 0Л'в дТ
д AV sin 0Мо .
дв + *" аФ- - cos lw* + +
-f- 2 -т cos 0M"p - - RfjRfp sin O^s;
dNv ]
d [(Ry sin ft)2 T]
дф r Rip mi) 0 <70
I
['
дМц, or> . _ dH ,-B± + 2Rvsme-w
-b 2 cos 0 (Rj -j- Rq) /f - - Rb Rfp sin 0<^ф;
. N(p 1 id Г d Rq> sin GA-lg
tfe ~R^~ RbRti bin 0 | Tift [ ЩдО '
+ 4-'"0'4tl + -в-
дф
,___________1 <7' [(/?Ф sin 0)4/ ] I _
Rip sin 0 (7ft дф J f ~~ '
(18)
(19)
в которых через q$, q^, qn обозначены составляющие поверхностной нагрузки
(рис. 3).
Граничные условия
659
ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА
Связь между компонентами деформации и ус илиями-моментами устанавливается
соотношениями обобщенного закона Гука
1. 12 е(r) = ~Eh - v,V<p) + ет> = *?^з (^6 - vAfg,) + кг;
1 12
(Л'ф - v,V") + er; Нф = (M" - vMj) + xr;
10+v) T_ I2(i+v)
(20)
здесь E - модуль упругости: v - коэффициент Пуассона; erf кг -
температурные деформации, связанные с коэффициентом линейного (теплового)
расширения а, и изменением температуры Т соотношениями
ft/2
ft/2
Вг'ТГ I aTd° Хг"Ж J aTidl¦ (21)
-A/2 -ft/2
В случае линейного по толщине оболочки изменения температуры Т (0. ф: С)
= Гв (в, ф) г 04(0. Ф) (22)
При этом
а = а (0, ф), ег = а Ту, Y.J = а7\.
