Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
ар + АВ' да " (r)
I
= дгМ_г'Л°);
_В д_ / у* \ _А д / и* \
А ) ~
- ^ U + v) j*
К
ЕЛ
(76)
Каждая из систем (75) и (76) значительно проще соответствующих
соотношений моментной теории. Для оболочек пулевой гауссовой кривизны
(цилиндрических, конических) и линейчатых оболочек отрицательной кривизны
их решение сводится к подсчету двух квадратур [1, 15, 29].
Для оболочек, образованных вращением кривых второго порядка вокруг их
осей симметрии, каждая из систем сводится к гармоническому уравнению. При
их решении может быть использонана теория функций комплексного
переменного [7 ].
К уравнениям (75) мы пришли, пренебрегая в уравнениях равно весия
моментами и перерезывающими силами. Отсюда следует, что и в граничных
условиях нужно пренебрегать моментом Mvv и перерезы-
Беамоментная теория
649
вающим усилием Qvn. Далее, мы лишены возможности распоряжаться
отвечающими им обобщенными смещениями: углом поворота itv и нормальным
прогибом к>, поскольку произвольное их задание вызывает появление
реактивных изгибающего момента Mvv и перерезывающего усилия Qvn,
реализующих заданные 0V и и). Таким образом в рамках безмоментного
решения на краю оболочки мы можем задавать лишь по одной величине из
каждой пары обобщенная сила-обобщенное смещение
Qw Qv/ ¦*-> lll- (77)
Уравнения (75) и (76) являются системами второго порядка. Решая первую из
них, мы получаем дне произвольные функции. Если имеются дна граничных
условия в усилиях (для оболочки с двумя краями), то с их помощью мы
фиксируем указанный произвол. В противном слу чае, сохраняя в решении эти
дне произвольные функции и интегрируя систему (76), получаем еще две
произвольные функции. С их помощью можно удовлетворить четырем
геометрическим условиям. Существенным в сказанном является то, что могут
быгь \довлегнойны только два статических условия, а два обязательно
должны быть изометрическими.
Отмеченное принудительное задание двух геометрических граничных условии
имеет глубокий физический смысл. Действительно, п решении уравнения (76)
наряду с некоторым его част ныч решением входит и решение однородной
системы
* й=4=y' -u- <78)
т. е. перемещения чистого изгиба. Роль упомянутых принудительных
геометрических граничных условий как раз и сводится к ограничению этих
перемещений. Если этого не сделать, то оболочка с незакрепленными краями
будет вести себя не как несущая конструкция, а как подвижной механизм. Б
работе 130 приведены специализированные для безмомент-иого напряженного
состояния деформационные и статические граничные условия.
Однако для очень длинных оболочек никакое закрепление краев не может
существенно повлиять на напряженно-деформнрованпое состояние вдали от
краев. Так, например, в очень длинной цнлиндрическон оболочке некругоного
поперечного сечения, нагруженной равномерным давлением газа, вдали от
краев устанавливается сильно нзгибное на-пряженно-деформированнос
состояние, идентичное имеющему место в кольце того же сечения при
постоянной по величине нагрузке, нормальной к оси кольца (в плоскости
оси).
Усилия по безмоментной теории определяют из системы уравнений (75) вне
зависимости oi соотношении неразрывности срединной поверхности. Поэтому
последние оказыванмся в большей или меньшей степени нарушенными. Это
нарушение велико в местах быстрого изменения (тем более скачка) величин,
характеризующих геометрию обо лочки и внешнюю нагрузку Ru, Rq, R^\ A; gp,
g". Поэтому одним из ус.ювий применимости безмоментной теории является
плавноегь этих величин.
Далее, расчетная практика и теоретический анализ (15, 18, 29} показали,
что в местах изменения знака гауссовой кривизны поверхности имеют место
значительные изгибающие моменты. Примером такой
650
Общие уравнения теории тонких оболочек
оболочки может глужить тор (см. гл. 25). Кроме того, на очень пологих
участках оболочки (близких к пластине) нормальная к срединной поверхности
нагрузка вызывает поя плен не больших изгибающих напряжений.
При использовании безмоменткой теории следует особо выделять края,
совпадающие с асимптотическими линиями, вдоль которых равна
нулю нормальная кривизна поверхности-:--. Примером асимптотиче-
Rt
ской линии может служить образующая и а цилиндрической поверхности
На оболочках отрицательной кривизны через каждую точку срединной
поверхности проходят две асимптоты. На оболочках нулевой кривизны они
сливаются в одну. На оболочках же положительной кривизны асимптоты
отсутствуют.
Асимптоты на оболочках нулевой кривизны обладают тем неприятным
свойством, чго ндоль них входящие в безмоментное решение произвольные
функции остаются постоянными и не дают возможности, следовательно.
удовлетворить граничным условиям рассматриваемой задачи.
На асимптот веском ко игу ре оболочки отрицательной кривизны в
бечмоментном решении имеется одна произвольная функция, позволяющая
удовлетворить лишь одному граничному условию.
Для того чтобы создать требуемые по безмоментному решению деформацию и
