Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
статических граничных условиях - вещественные и мнимые части выражений
(54).
В очень важном для расчетной практики случае, когда сопрягаются две
оболочки одинаковой толщины fti = AM с равными упругими постоянными ?1 -
?н; V* - vl I условия упругого сопряжения (46)-(47) можно согласно
формуле (54) записать в комплексном виде
что серьезно упрощает проведение pac"ieroB. Отметим, что использование
условий (63) возможно и при стыковании оболочек иод углом.
При использовании метода комплексных смещений исходной является система
(57) [либо более простая (58)1. По найденным из нее комплексным смещениям
и, v, w комплексные усилия подсчитывают по формулам
,Va - <V* - iEhcXfr А'е - jVp - i?/zcxa; T - T* iEhcx, (64) а усилия и
моменты из формул (61).
Смещения находят решением приближенно совместной системы
Понижение вдвое порядка разрешающих уравнений, отсутствие н них малых
несущественных членов и обозримость формул делают комплексный метод
удобным не только для теоретических исследований, но и при
<Va -= ЯсЛ'0; Ма - -cJm\ ,Ve -+- vA"}; Л'й = Мв - - cJm [Na т
v,Vp);
Т = ReT, И = с (1 - v) JmT,
(61)
(63)
У" - Rey<,; ea = (RcNa - vReNe);
(65)
64(1
Общие уравнения теории июнь и* оболочек
расчетах конкретных оболочек. Широко используемые п расчетной практике
уравнения Менснера и уравнение пологих оболочек В. 3. Власова являются
частыми случаями приведенных нышс комплексных уравнений.
Ил приведенных соотношений видно, что в комплексном методе речь идет не о
функциях комплексной переменной, а об естественных, удобных комбинациях
пар вещественных функций. Для пользования методом необходимо, по
существу, помимо широко известных соотношений
</=К=П
(о 4 ib) ± (с + id) = (о ± с) ~г i (b ± d)\ \
(а 4- ib) (с 4* id) ~ (ас - bd) 4* / (ad ~r bey, ( a + ib (ac -f- bd) -}-
i (be - ad) j с -J- id ~~ c2 + d2 ' 1
знание формулы Эйлера
= ex (cosy -f i bin y)\ e*~iy - e* (cosу -¦ i sin y).
Подробнее о применении комплексного метода, об его достоинствах и
недостатках и области применения см. в работах []5, 28, 29].
(66)
(67)
УРАВНЕНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ВЛАСОВА
Во многих случаях общие разрешающие системы уравнений удается заменить
более простой по структуре системой двух уравнений
щ АА(Ф)+0("")= 0;
Ehs
•ДА (и)-0(Ф) = уп, (68)
12(1 -V2)
так называемыми уравнениями пологих оболочек Власова. Здесь
Д( )
1
АВ
/_д_ В_ д() д( ) А_ d( ) \ . \ да А ' да dp ' й ' е?(5 / '
1 МО В d( ) д( )_____I д( )
АВ \ да ARq да да dp
lap.-
df йщ da ар '
A
BRa
й( ) '
dp
При этом усилия определяют по формулам
Т - * ( дА
~ АВ \ dsedp 4 ар" *
аф \ , 1 дЬ 1 аФ
ар ) 1 АВ ' да " .4 да
аФ > \ 1 дА 1 дф
да } t АВ ' ар В '7>р :
дА дф 1 дВ а(r)
' вр ' да " в * да ар)
(69)
(70)
Уравнение пологих оболочек Власова
647
а моменты по обычным соотношениям (38), в которых, однако, под компонента
ми нагибных деформаций следует понимать упрощенные выражения
1 /3/1 (to \ 1 дА 1 <to
, .4 да \ А да. ) АВ dfi В df>
_ 1 д / 1 dw \ _1_ дВ 1 dw
0р/ ~Ш"~да" А ' да ' (7|)
1 / dto 1 сМ <to 1 сШ
Т " ~ "Ж ( 1
.4В \ /Ьс!р> .4 ар да В да df>
Y
отличающиеся от точных тем, что в них опушены слагаемые, зави сящие от
тангенциальных смещений и но.
Можно исходить и из эквивалентного (68), комплексного уравнения
-?>И =
Qn
ЕН& '
V 12(1 -V*) h
(72)
где иг - третье из кочп.юксных смещений, связанное с w и Ф соотношением
- ьу -J- iw -
(73)
Ла - IE be | g * I r
,Vg - (?/ic
/ 1 (to \ . _2 l в ' ap J ^ Ai
1 dw \ ~A'~da)
dB Jl_ cto 4J3 da A da
] OA ] dw IB ' ~ЩГ ' ~B ' Ж
1 rfto 1 dA dw 1 дБ <йЛ]
\ da dp A dp ' да В да ар JJ
(74)
Выписанные соотношения, помимо погрешности основных гипотез теории тонких
оболочек, содержат и дополнительные погрешности. Последними можно
пренебречь в задачах, где функции, характеризующие напряженно
деформированное состояние, значительно возрастают при дифференцировании
хотя бы по одной координате. Такое напряженное состояние реализуется,
например, в не очень длинных цилиндрических оболочках и при краевом
эффекте (см. стр. 651). Кроме того, отброшенные в формулах (70) и (71)
члены содержат множителями
кривизны -. ¦ п , - и их производные. Поэтому выписанные
"a Kg Rap
упрощенные соотношения могут быть с успехом использованы и для расчета
пологих оболочек.
648
Общие уравнения теории тонких оболочек
Для непологих оболочек с напряженным состоянием, близким к без моменткому
либо чисто ичгибному, пользование уравнениями Власова может быть
сопряжено со значительной погрешностью. В работе [291 предложена
модификация уравнения (72), свободная от этого недостатка.
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ
Опуская d уравнениях равновесия (30) моменты, приходим к уравнениям
безмоментной теории
dBN(l 1
да А
- Л1 j. J_
ар + "
В
Ra
дА2Т
дВ2Т*
да
л Т*
дВ
На 'УР
Nр = - - ABqa\
(75)
После определения из них безмоментных усилий перемещения находят из
уравнений [см. формулы (14), (38)].
(4)
(Fn)
(V*)
Аи" 1 дА , . 1
да + АВ ' ар " т ш
ди* дВ_ *________1__ * _
