Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
соотношениях (18). (19). (21), (33) надо полагать
Свянь между усилиями-моментами и деформацией 639
По найденным усилиям и моментам значения напряжений определяются
соотношениями
" - "(Л) 4___2_п(и)- л - п<Л> I n__rr<u)-
°и - аи + и,5Л " ' "В ~ "В н 0.5Л "В •
+ (*)
где равномерно распределенные но толщине напряжения 0(р> . Ng .
(л)_____ibi
°Ч ~ Л ' с" h
ав" = "ь №
обычно назынают тангенциальными (цепными, мембранными), а линейно
меняющиеся по толщине напряжения
(н) 6Ма (и) 67/ #я" б/VJg
ЧГ = -JT-; °ifl = -*а"; "В - -^5 ижибяши. (36)
При расчетах часто необходимо определить суммарные напряжения
-* <
а~ - п<г" - п~ - п,р| - ст<">- п-- п(ет _ п'1"
°с ^ а °а • °"В - °ар а"В - °р " °р °,i ¦
(37)
При этом величины а отвечают волокнам, примыкающим к внешней лицевой
поверхности ^ ^ s - к внутренней поверхности
связь МЕЖДУ усилиями-моментами И ДЕФОРМАЦИЕЙ
Связь между компонентами деформации и усилиями-моментами можно получить
из обобщенного закона Гука, принимая статическую гипотезу Кирхгофа,
согласно которой нормальными напряжениями на площадках, параллельных
срединной поверхности, можно пренебречь по сравнению с основными
напряжениями с0, oUg, о^. Получаемые при этом варианты физического закона
отличаются один от другого различными малыми членами. В настоящее время
считают, что наиболее последовательным является вариант, предложенный В.
В Новожиловым и несколько позже Л. И. Балабухом:
Eh Eh*
Л'" = <е" I гСв>; Ма = 12 (| - + VK.5);
N4 = jSr? ("В + vea>; Mg = [g (f - v~i) <"В +
ii Eh3 .
12(1+V)1'
(38)
640 Общие уравнения теории тонких оболочек
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Употребляемые н теории оболочек граничные условия очень ра-шообрашы.
Наиболее употребительные из этих условий следующие:
свободный край
Qw ¦ Qvt - Qxn - 0; Afvv ~ 0* (39)
шарнирный, неподвижно опертый край
Mvv - 0; uv = щ - w = 0; (40)
шарнирный, свободный н нормальном направлении край
Mw = 0; Qvn - 0; uv = и, _ 0. (41)
абсолютно "аделанный край
"v = ut - w - 0; = 0; (42)
жесткий край
X" = x,v = х," = 0; с,| = 0 (43)
(в отличие от предыдущего случая здесь край может смещаться как жесткое
целое);
упруго-податливый край (29]
л М п dR о - dR
Vvv as;" Vvn-----dii! *
•Mv'1 (44)
R= -5- (<1"4 + 2°I2uv1'/ + 2nia"v(r) + 2on"v*V + °22U1 +
+ -г 2n21u,0v + ОддК? + 2o34io0v + o14ei) (45)
- положительно определенная квадратичная форма - так называемый потенциал
обобщенных краевых сил.
Условия упругою сопряжения. Большое значение в теории оболочек имеют
условия упругого сопряжения п оболочек (п > 2) на общей липни сопряжения.
Пусть значок (ft) сопровождает величины, относящиеся к ft-й оболочке.
Тогда условии сопряжения имеют следующий
Метод сил. Статико-геометрическая аналогия
641
Первая группа соотношений выражает собой условие уравновешенности
совокупности усилий и моментов, возникающих на краях сопрягаемых
оболочек. Вторая отражает требование совместности деформации сопрягаемых
краев. Последние называют деформационными условиями упругого сопряжения.
Часто вместо них используют более привычные геометрические условия сопря
чеенин
р"^<2> = О"" --"<?> (48)
Условия (43) и (47) более удобны, поскольку [см. формулы (2i)] они
формулируются в терминах компонент деформации и для того, чтобы им
удовлетворить, нет необходимости в предварительном определении смещений.
Это особенно удобно в задачах" где нас интересует лишь напряженное
состояние, по не жесткость оболочки. В задачах, где необходимо определить
и смещения, удобно подчинить искомое решение сначала деформационным
условиям, а уже затем по найденным компонентам деформации определить
смещения. В многосвязных оболочках, ограниченных несколькими замкнутыми
контурами, полностью заменить геометрические условия деформационными
нельзя, поскольку в этом случае жесткое взаимное сближение контуров,
определяющее напряженное состояние, не улавливается деформационными
граничными условиями Но и я этом случае все же целесообразно часть
граничных условий формулировать как деформационные [28, 29].
Более подробно о граничных услониях см. в работах [15. 28. 29].
МЕТОД СМЕЩЕНИЙ
Этот метод состой г в том. что выражения (/4), (15) и (38) подставляют в
уравнения равновесия (30). Полученную систему трех дифференциальных
уравнений восьмого порядка в частных производных интегрируют при
некотором варианте граничных условий, записанных через смещения и их
производные. Слгдуст. однако, заметить, что полученная система уравнений
очень громоздка, даже для оболочек простой формы. Поэтому в статических
задачах ее используют сравнительно редко.
МЕТОД СИД. СТАТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
Более употребительным является метод сил. Он состоит в том, что к трем
уравнениям раннонесия (30) присоединяют уравнения неразрын-ности (16),
записанные с помощью соотношений (38) через усилия и моменты. Получаемая
при этом для шести искомых функции (Д'а, Т, Nft, Ми, Н, М0 система шести
дифференциальных уравнений имеет также восьмой порядок. Эта система
