Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
г+ч-г- . _ _ Г"
(23)
(24)
где 74- и - изменения температуры соответственно на внешней и внутренней
поверхностях оболочки.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Граничные условия, используемые при расчетах оболочек вращения, весьма
разнообразны. Перечислим некоторые из них, наиболее упо-требимые.
Свободный край
Qr= Qx= Qw = О; Ме = О. (25)
Шарнирный, неподвижно опертый край
иг= и х= v= О; Afg = О. (26)
Скользящая заделка (скользящий шарнир) иг - О; "0 = 0; Qoq, = 0 (или v =
О);
Qx = Qo (Со - заданная величина). (27)
Полностью заделанный край
иг = их =* v = О; (c) = О. (28)
660 Общий случай деформации оболочек вращения
Жесткий край
х, - хх - - 0, - 0. (29)
От предыдущего варианта граничных условий услонии жесткого края
отличаются тем, что они формулируются в терминах компонент деформации
(см. стр. 656) и при их использовании не требуют предварительного
определения смещений. Они особенно удобны н задачах, где нас интересует
только напряженное состояние (см. стр. 641). Часто используют условия
упругого сопряжения, подробно рассмотренные в гл. 1 т. II и в работах [6,
7, 9, 14].
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Выписанные зависимости позволяют определить напряжения и смещения,
возникающие в оболочке, закрепленной по краям и нагруженной заданной
внешней нагрузкой.
Замкнутость оболочки вращения по ф, независимость коэффициентов
дифференциальных уравнений от <р, периодичность искомых и заданных
величин позволяют применить метод разделения переменных. Состоит он в
том. что все величины, как искомые, так и заданные, разлагаются в ряды
Фурье нида
(30)
Ф (0, if) - ^ [ф^ (6) cos йф -j- (6) sin йф].
В силу взаимной ортогональности функций cos йф, sin йф можно порознь
рассмотреть каждую й-ю гармонику, т. е. случай, когда интересующие нас
величины имеют следующую зависимость от <р: и - cos йф: v ~ Vk sin йф; vi
- a?ft COS йф;
Ur - Ur. k cos йф; ux - ux> k cos йф; ft - ft* cos k<f \ t'e - *u. k cos
йф; у - у* sin йф; = еф, h cos йф; xa = . ft cos йф; x = тk sin йф; кч. -
k cos йф;
*r - К', к cos йф; хч,в =. н^е, к sin йф; хх = у~х. k cos йф; (31)
Л'о - А'о, k cos йф; Т =7* sin кц>; Л'ф = iVv. к cos йф:
Afр, = /ИЙ1 k ms йф; Н - sin йф; Af<p - AQp, * cos йф;
Qr - Qr. ft cos йф; Qqq, - Qe<P. ft sill йф; Q.v --- Q.v. ft cos Aq;;
Qb - Oe ft cos йф; qtp - * sin fcq*, qn^ Qn ft cos йф.
Ниже принедены соотношения, которым удовлетворяют "ампли тудные"
множители и к', о*; . . qn, к- Случай, когда в равенствах (31) множители
cos йф заменены на sin йф и наоборот, можно рассмотреть путем поворота
осей у иг (см. работу7 [9]). В работе (14) оба случая рассмотрены
одновременно.
Для й-х гармоник соотношения (5), (9), (12)-(16) и (20) сохраняют свою
форму. Требуется лишь снабдить входящие в них величины индексом й.
Остальные принимают следующий вид:
= <32>
Метод разделения переменных
6G1
Rff sin б
1 dvk cos 0
1 ( duk ,
R*
ikt'k i- Uk cos 0 | Wk s(n 0);
_____________; Uk
R% ' dQ R4. sin 0 Vk Rq. sin 0 '
- 1 " =
*q>, k SU1 6)2
COS 0 ( d\
(fe2ujfi -{- fe sm Hu*) -
cos" / dvk \
/?9/?ч SIR €1 \ dtt k)'
rk - -5 дг- [ -5-^-77 + bin Go*) 1 -b
/?e do L % s||i и J
- (feu* - cos Ot'/e);
1
sill 0
I fe2
- Oft - - "Л
(33)
; feu* -j- fe2ur, * ;
* = j- J' y- Ux, kJ; ft ^- {fefft + "г. л
1 / rf/?<p ЫП бвд). *
'¦ЦП, k - ft[ sm " ^ Д7Ш
clRg, sin OAffe, k
(31)
Qfl". ft =
1
Rif sm 0 V /?B d0 Уравнения равновесия d/?^ sin 0Vj, *
+ fey* - cosOe,,. ft) ; + 2fe//* - cos 0 M.f /?) .
(35)
(36)
dG
- kRi,Tk - Rfi cos 0.V4, * -+-
dRip sin 0Als, * Rbdb
-fe RitA'ip, * -|
2fe//ft - cos 0Мф, ft - fig /?ф s
1 d (Rg sin 0)2
Tk-1-
/?Ф sin 0 d0 ' K ' /?,f X I -l-Я,,MV, * r2R, sm 0 i 2 cos e (Rb f fit)
H/<] = - Sin 0<7,j)t ft!
(J-7)
6(i2 Общий случай деформации оболочек вращения
Ав. k R%
. f (I Г dRip sin 6Afy, л 1 dQ L
Vy.ft______________1_________
R,f RtiRf, sin 0
- | kHk - cos (Шу,, л
1
k
Rq> sin ii
R<f sin (1
d [R(p sin 0)2 /fft 1 \ __
dQ
if
- Qn. k
(37)
Уравнения неразрывности срединной поверхности
rffirn Sill Ойф ft , n c
JjlJL kR4%k - Rq COS 6xg ft -
dRq, sin 6e"p. л
1
- r cos 6e3. * - 0; d (ЛУ sin 6)3 Tft
% sin 0
d0
dyk
+ -^7 [kRht.6i ft - /?ф sin 0-jQ-+ соь e (/?9 + Лф) v*J =
""'.ft
+ -
l
Ro 1 AJip Rq Rif sin 0 dR(p sin * k RtdQ 2
1
Rtf> sin 6
~k2Rbe^k~
7ft - COS OEi
k
2R(p sin 0 '
d (Rq, sin 0)2 Yft d0
]}-¦
(38)
САЛЮУРАВНОВЕШЕННЫЕ НАГРУЗКИ (ft :> 2)
В пешн ис нагрузи ii , отвечай" цие k 2, я нл и юте я само \ равнове-
шенными, в том смысле, что главный вектор и главный момент краевой
нагрузки равны нулю на каждом граничном контуре. Соответствующее
разрешающие уравнения представляют собой сложные и малообозримые системы
обыкновенных дифференциальных уравнении восьмого порядка, с переменными
коэффициентами, "засоренные" к тому же малыми, несущественными для
расчета членами.
Наиболее простыми и свободными от малых членов явтяютсн соотношения,
полученные В. В. Новожиловым,
Самоуравновешенные нагрузки
663
* ' ' '1 ftjftj> sin О
