Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
довольно сложна и содержит много малых, несущестненных членов. Для ее
упрощения обычно используюг различные соображения физического характера,
основанные на име ющемсн представлении о характере работы оболочки.
Широко используют и так называемую стати ко-геометр и чес кую аналогию
[7, 28, 29]. согласно которой каждому статическому соотношению (величине)
отвечают соотнек-твуюшне геометрические (деформационные). Проявле иием
этой аналогии является то обстоятельство, что однородные уравнения
равновесия (30) при qa - qn = 0 переходят в уравнения
21 Зак ат 1656
642
Общие уравнения теории тонких оболочек
неразрывности срединной поверхности (16) при замене статических величин
(Na, iVe, Т, Ми, М$, И) соответственно на деформационные
(i%, Ха. -т. -Е(). -to. -J-).
Отмеченное свойство дает возможность ннести функции напряжения соотношен
и н ми
Ла - Л'* \- EhniQ (ы, v, ы.'); Т - Т* - ?Аст;
Wg-WjH Е1гска;
- * (49)
Mu = Ма - Ehce^i Afp - Mp - ?Лсец;
H^H> + Ehc-X- (с - г * =\,
2 \ !• 12 (I - v2)/
здесь (Л/*, Wp, Т*, Мд, Мр, Я*) - статическая система функций,
удовлетворяющих уравнениям равновесия, а в остальном произвольная; (хр.
Ха, т, ер, еа. у) - компоненты деформации, построенные, однако, не по
смещениям, а по некоторым функциям (u, v, к>). Выражении (49)
удовлетворяют уравнениям равновесия при любых и, V, а>. Поэтому последние
и называют функциями напряжения (функциями Лурье-Гольденвейзера).
С помощью введенных функций напряжения граничным статическим величинам
(32) и (33) можно придать следующий вид;
<?V= <3V- ЕК^Г. Mvv= M*v -?tei", (50)
где
Cv = Qvv* + Q'yJ + Cvn *t = -*ltX - Klv'- ~*ln'L (51> Входящие сюда
статические и деформационные величины подсчитывают с помощью равенств
(33) и (21) по (jV*. jVp, . . .) и (eQ, Ёр, . .
Простейшим и наиболее важным частным случаем статической системы является
безмоментное решение Na, \'1, Т (при Д40 = Мр ---- Н* = О). Подробнее о
статико-геометр и ческой аналогии см. в работах (7, 28, 29].
КОМПЛЕКСНЫЙ ВАРИАНТ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
В развитие статико-геометрической аналогии введено понятие комплексной
аналогии, согласно которой каждому статическому и геометрическому
соотношению (величине.) отвечают соответствующие комплексные. Введены
следующие комплексные комбинации: комплексные смещения
и = и + ш, о=о+ /о, к" = & -J- iw (t - У -I), (52)
Комплексный вариант теории оболочек
1)43
комплексные усилия и моменты
Л'и - Л" - i Г hexМи - МиlEhrt-ft, I lft''Nf - lEhnai Se-Mj+iftoa; (53)
Тжж Т \ iEhci; H = W -itte-j-, | и комплексные граничные величины
3w = <?vv - iF.hcy.fi - Q*v - iftex(f;
5w = C?vi "b tEhc*iV = (At -I- *fftcx/v;
5" = Qv* " iEhcKtfl - Q*n - i?hcntn: (54)
- Aiw - iEkce n = M*xv *+- f?Ace(
5V = $v -1 iEhcy.f ^ 0* - iEhCKf,
здесь Ин, K/v, K/n. e" - величины из формул С14) и (21), построенные по
комплексным смещениям и, о, а>.
С почошыо соотношений физического закона (38) комплексные
моменты могут быть выражены через комплексные усилия Л'а, Л'р. Т. При
этом последние определяют из следующей системы уравнений в комплексных
усилиях (четвертого порядка):
dBNa
до.
1 дАЧ дВ ~ .
А ' ар da е +
• (JL d_ )
lC\Ra' да Hr# ' dP / '
- ABqa --= 0;
0ANb i овгТ дА -
ар + в ' да ар jVa _г
.1а ал' в йл \ , д + *\Т5-<Г~
Л/е
На о Г
"в в а
- гс Л/V = </п.
(55)
1 ( а________________
ЛВ (da <4 да
лл
¦V = Ло
(И)
ш
Общие уравнения теории тонких Оболочек
Комплексные же компоненты деформации удовлетворяют системе уравнений о
комплексных смещениях (также четвертого порядка)
которая может быть принята и в Солсе упрощенной форме
Наконец для комплексных граничных величин справедливы следующие
упрощенные выражения:
Соотношения (55)-(59) приближенные. Характер использованные при их выводе
упрощений, сопоаявление с соответствующими "вещественными" соотношениями
и проведенные многочисленные расчеты конкретных оболочек позволяют
утверждать, что для большинства практически интересных случаев
погрешность выписанных соотношений имеет тот же порядок, что и
погрешность исходных допущений теории тонких оболочек.
Система (55) включает в себя как уравнения равновесия, так и урав пения
совместности. Поэтому она может рассматриваться как разрешающая система
теории оболочек. Меч од. основанный на ее нспользо-
(57)
Qvv - cos2co,Vu 2 sin to cos ыТ -j- sln2to,Vg;
Qvt - sin to cos to (,Vg - Д'а) т (cos2 to - sm2 to) T,
(59)
Mw 4- * (1+ v) tQw =
где
4v = 4a. cos <n - sm to; ,V = Na + A'p: с =
ft
/12(1 - v2)'
c) cos to d , sin to d
dsv А да ' В * dp '
d sin to d cos to c)
dsi А да B dp
(60)
Комплексный вариант теории оболочек
645
вании, называют методом комплексных усилий. После определения Комплексных
усилий обычные усилия и моменты находит по формулам
где Re обозначает вещественную, a Jm мнимую части соответствующей
комплексной величины.
Перемещения определяют из приближенно совместной сисю мы уравнений
Для удовлетворения геометрическим граничным условиям используют
определяемые из последней системы смещения и, v. кг, при деформационных и
