Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
вычисленным переменным модулем ? и т. д. (см. работу [1 ])
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК ПРИ ДЕФОРМАЦИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ
Уравнения ползучести изгибаемых пластинок
Основные положения. Исходные гипотезы геометрического характера в теории
изгиба пластин в условиях ползучести - те же, что и в теории упруго-
пластичсского изгиба (см. стр. 615). Если в основе расчета лежат
уравнения теории старения (см. гл. 4), то расчеты ползучести пластин в
принципе не отличаются от расчета упруго-пластического изгиба пластин при
упрочнении; необходимо лишь, используя изохронные кривые ползучести (см.
гл. 4), произвести ряд расчетов для различных моментов времени.
624 Расчет пластинок с учетом пластичности и ползучести
При использовании теории течения (см. гл. 4) вместо прогиба w следует
вводить скорость прогиба w. Зависимости (I)-(3) сохраняются, но нужно
говорить о скоростях деформации . и скоростях кривизн Хд. х", хку.
Уравнения равновесия (4) и (5) переносится без изменений. Мощность
деформации пластины (на единицу плошади)
А - Мххк + МуХу + 2 Иу.х" (27)
Степенной закон ползучести. В дальнейшем принимается степенной закон
ползучести (22) и уравнения теории течения. Заметим, что при расчете
установившейся ползучести выбор теории ползучести не имеет значения.
Соотношения между моментами и скоростями кривизн имеют вид формул (23) и
(24); необходимо лишь в этих формулах от кривизн перейти к их скоростям
Вариационное уравнение скорости прогиба пластины, вытекающее из принципа
минимума полной мощности (см гл. 4) имеет вид
| -X1 ^dxdy- | | ч(х, у) wdxdy = min, (28)
2 + И
Это уравнение аналогично уравнению (25).
Ползучесть осесимметричных пластинок
Основные формулы. В случае осесимметричного изгиба круглых пластинок
(рис. 5) скорость прогиба w(г), а параметр скорости кривизны
¦ _ 1/ / dhs) \ l_ dw d*w ' I / dw \2
г • гг \dr ) •
(29)
В радиальном и круговом сечениях на единицу длины действуют изгибающие
моменты
(30)
Ко.мпоненты напряжения вычисляют через изгибающие моменты по формулам
а, - DMrzоф - DMyZ*1 (г^О). (31)
Расчет пластинок при деформациях ползучести 625
В область отрицательных значений г напряжений продолжи юте н нечетно, а
-2 (l-t-HJ
Изгибающие моменты удовлетворяют дифференциальному ура вне нню равновесия
-|г[-^-(г.ад-/Иф]+,г = 0. (32)
Перерезывающее усилие
Qr= J- (гМг) - Л1, J . (33)
Дифференциальнре уравнение скорости прогиба пластинки. Согласно формулам
(31) и (32)
Граничные условия:
жестко заделанный край w = 0; -'f- ~ 0;
r dr
шарнирно опертый край w = 0; МГ - 0; свободный край Мг =0; Qr
= 0.
(35)
Для решения уравнения (34) могут быть использованы различные численные
методы, в частности - метод численного решения В. В. Соколовского (8).
Можно упростить уравнение для скорости прогиба на основе критерия
максимального касательного напряжения и ассоциированного закона течения.
Применяется также [61 метод Галеркипа, в данной задаче этот метод
приводит к тем же результатам, что и метод Ритца.
Вариационное уравнение скорости прогиба имеет вид
J !+|*
а
где вариация мощности заданных внешних сил
(36)
бД - 2л | q (г) wr dr + 2я [rQ,.6w]? - 2п ?гМ,Л ~j"J " (37)
626
Расчет пластинок с учетом пластичности и ползучести
Скобки U.lJ означают, что из значения при r~ Ь необходимо вычесть
значение при г = а. Для граничных условий (35) обе квадратные скобки в
формуле (37) равны нулю
Если пластина изгибается сосредоточенной силой Я, приложенной в центре,
то
бА = Ябг%. (38)
где гд0 - скорость прогиба в центре пластины.
Для решения уравнения (36) целесообразно применить метод Рнтиа. полагая
W = Ci% + С2ЬУЙ + • * *,
где ЬУ|, wz, ... - подходящие функции, удовлетворяющие тем или иным (в
зависимости от задачи) однородным геометрическим условиям (35); clt с2 -
произвольные постоянные. Если удержать только один параметр сг, задача
будет иметь простое решение (см. стр. 623). Решение можно улучшить при
помоши модифицированного метода Ритца (см. гл. 3). Дополнительные
указания приведены в работе (5).
Вариационное уравнение для изгибающих моментов вытекает из принципа
минимума дополнительного рассеяния (см. гл. 4) и имеет вид
ь
j (^г - + Л4^)rtfr=m"n. (39)
а
Изгибающие моменты, входящие в уравнение (39), должны удовлетворять
дифференциальному уравнению равновесия (32) и силовым граничным условиям
(например, Мг = 0 для опертого края). Изгибающий момент М,е определяют из
уравнения Ь
Щ - -jf- irMr) - | qrdr + bQr (Ь),
где Qr (Ь) - перерезывающее усилие иа контуре r-Ь. Для решения
вариационного уравнения (39) можно применить метод Ритца: задавая Мг в
функции некоторого числа произвольных параметров, находить последние из
условия минимума (39). Для приближенного определения напряженного
состояния пластины в условиях ползучести вариационное уравнение (39)
более пригодно, чем вариационное уравнение (36) для скорости прогиба.
Приближенное решение уравнения (39) можно искать также по схеме с
множителем К (т) (см. гл. 4)
М, = Л1? + К (т) ("; - Mj); Мv = Л1" -Г К (и) (Л1ф - Л^), (<!0)
