Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
из системы уравнений (И)-(15) отвечающие им смешения.
Перемещения точек граничного элемента оболочки (рис. 4) определяют вектор
смещений точек граничного контура
U = uv\ + Uft-
(17)
и угол попорота граничного элемента вокруг касательной к граничному
контуру flv При этом
uv~ и cos to -г v sin со; щ = -и sin w -f- v cos to; (18)
ev-e"cos<u + e|5 sin -i--^---------------(i9)
d( ) cose" _ , , .... , ,
где -*7=-д- ser+-в~ -ц-ip(tm)*"2" (tm) "°р-
мали к граничному контуру.
Деформацию граничного элемента описывают четыре компонента деформации
(xi = -Х((V + K,J- х,"п); (20)
Уравнения равновесия
635
ЛИ - COS3 fOXfl - 2 sin № cos от + sin ft"Xa J-
x/v = sm со cos Ш (Xp - xa) + (cos3 to - sin3 со) т +
(sin - и- cos3 со \ у cos3 шец - sin3 cofn f.jv
~R^ Щ~) ~2 Щ rT '
cos со ( двеr I d / v \
^-ЛВ-\~Ж--~А ~ар (*)-
p 1 sin со ( аЛвд I д ( 2 у \
CJ AB | d(5 Д da \ 2 J
ад
да
В
de.(v
\ • apfv -
e}T",sr-
flf) Efi
?/f = cos2 wsp - sin со cos my -j- sin3 co?a,
Eiv = sin ci) cos со (t|j - eu) -i (cosJ со - sin2 ") ~~,
(21)
ILL.
ds,
sm со d ( ) cos со d ( ) А да. ' В ар
производная вдоль граничного контура; Ец - относительное удлинение
граничного контура (см. рис. 4); хгг - искривление граничного элемента в
своей плоскости; щп - искривление из плоскости; kjv - скручивание
граничного элемента.
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ. СТАТИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Используя малость толщины, в теории оболочек заменяют напряжения,
действующие в нормальном сечении оболочки, статически эквивалентной
системой усилий и моментов, приложенных в срединной поверхности. В
результате такой замены рассматривают равновесие срединной поверхности,
нагруженной: а) приведенной к срединной поверхности поверхностней
нагрузкой (в расчете на единицу площади срединной поверхности)
(22)
(23)
Я = Wu + т +
б) краевыми усилиями
+ #v) ¦" ->
Г = rvvv + Tytt-г 74* л:
в) краевыми моментами
А4<4> = Myyt - AlytV. (24)
В каждом нормальном сечении оболочки, проведенном в направлении
координатной линии, указанная внешняя нагрузка
636
Общие уравнения теории тонких оболочек
уравновешивается системой усилий и моментов (в расчете на единицу длины
координатной линии)
Т{Щ = Л'гАх Ь ТсДО +¦ Qo.n. М( i ~ Мае$ - Ма^и. I ^)Г>)
7 (В1 = Л'р?в + Ттса +¦ Qtn: МФ) - Мт,'п - м/и. I
Величины Na, Л^. Tw - называют нормальными усилиями; 7*цц. Tfin, Tvt -
сдвигающими, a Qa. Qp, Tvn - перерезывающими усилиями;
Ма, №(•>• Mvv - изгибающими, а Ма$, Л1ра, Mvt -скручивающими
моментами.
Положительные направления введенных статических величин показаны на рис.
5.
Рис s
Приравнивая нулю главный вектор и главный момент всех действу-ющих на
элемент срединной поверхности воздействий, приходим к двум векторным
уравнениям равновесия
mg."
ь + (7"" - ^ "1 АВ = 0> <27)
равносильным шести скалярным. Последнее из них - шестое уравнение
равновесия - имеет следующий вид;
+ 0. ",
Как было показано в рабоге [15), полученное конечное (недифференциальное)
соотношение является интегральной записью условия симметричности
напряжений (оар = сгро). Ему можно тождественно удовле-
Уравнения равновесия
637
творить, используя первую из симметричных статических величин В. В.
Новожилова
' *=> М$а.
(29)
Используя введенные симметричные величины и исключая из оставшихся пяти
уравнений перерезывающие усилия Qc 11 Qf" приходим к трем уравнениям
равновесия
Rae\ Ф
д ( А А Ra Rag "в) +
' dp V
ар ( Vf, И КадЛ1") 4- ABqa •= 1
дАМр 1 дВРТ "й."
"Ж* В да ар Ло h
t fdAMfi 1 двгн
*Р ^ В ' да
[ /дВМа_ I дА*Н -^ Мн
ар \ да + а ' ар да
д / ¦в в ."В "Ч> Мо)-
1 аа ^ 1 н 1 "а "а6 %) -1- ЛВ<7Р = 0;
Wu 2Т Щ LIA.. 1 (дВМа 1 дАгИ
Ra RatI Rfi Лб |da А \ да + А ' dp
_ ав мЛ+ - I |МЧ, 1 _ дВ*Н
da ^ + ар ' В 1 ар В да. ар МаЦ 1
+ /5iN "иь"в)"+ ""в 1 = 9 гг.
(30)
638
Общие уравнения теории тонких оболочек
Сшллсно равенствам (23) и (24) на граничном контуре должны быть заданы
пять статических величин Тхх, Tvl, Tvn. Mxv, Mvi. Однако порядок системы
дифференциальных уравнении теории обо лочек (восьмой) почволяет у
чоилетворить лишь четырем условиям н.) каждом краю. Чтобы преодолеть это
противоречие, н теории тонких оболочек вменяют систему усилий-моментов
(23) и (24) статически эквивалентной ей системой четырех приведенных
величин (см. рис. 4)
п.. -
М"
т
-*¦"+*?: aw
/ д sin to _d_ cos to д \
^ dst ~ А ' да В dfi)'
(31)
Через усилия-моменты они выражаются но следующим формулам.
(Qv " Qvvv -|- Qxtf + Q\nn)>
(32)
Qw - cos2 coA'a -I - 2 sin co cos со7" -f- sin2 wA'g
RI 1 \ Ma ] м
TZ -ц)"-^J-жг--
Qxt - sin to cos co (A'g - iV'a) + (cos2 <o - sin 3 со) T -f / cos3 со
sin2 to \ , smg toA/g - cos2 coA?(1 д-j^ ^
\ Rq Ra ) ' Rafi Rt *
" COS to / дВМа I dA2H dB \
Q(tm) = -AE-{-dcr- IC'-df,-------------Жм") +
sin co / BAMf} j dEPff дА \ сШу*
Л~АВ~\~^Г+'В-д^ Ж а/+"^Г;
Aivv = cos3 coAJa 4- 2 sin co cos сoH -f- sin2 to/Vjg [<Vlv, - (cos3 ft)
- sm3 to) И -- sin co cos to (A/g - AIa)J.
(33)
Для случая, когда граничный контур совпадает с координатной линией р в
