Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
функции напряжений Ф:
с"2ф д2Ф а2Ф
7' <13)
при подстановке выражений (13) в уравнения равновесия (7) последние
выполняются.
После замены в равенстве (11) напряжений сх, оу и т через
их значения в функции напряжений в срединной поверхности Ф
уравнение
равновесия приобретает вид
, " 2? && , <РФ Л"_9_^Ф d*w q_
ft dtp ' dx* h dx1' dtp дхду'дхду' ft ' 1
Подставляя в уравнение совместности деформаций (2) вместо вЛ, Ъу и у
выражения (4) и используя зависимости (13), получим
'[fcStf-S-SM-
Уравнения (14) и (15) представляют основную систему нелинейных
дифференциальных уравнений теории гибких пластинок. Введем оператор L,
который в применении к функциям w, Ф записывают так
1 ' дх2 ' dtp + tfjP ' - дхду ' дх ду '• ( |
тогда уравнения (14) н (15) можно записать в виде
-j- v2v2w = L{w, Ф) - ; (17)
4- у2у2Ф -----4 L (w, W). (18)
600
Гибкие пластинки и мембраны
В случае жестких пластинок необходимо принять Ф = 0, тогда уравнение (14)
сводится к линейному уравнению (24) гл. 17.
При расчете мембран изгибной жесткостью можно пренебречь; уравнения (14)
и (15) для этого случая принимают вид . гРФ <Ри> . (РФ <Pw , ..
(РФ
Н дуг ' d** dt' ' die 1 дхду ¦ дхду V' ( 1
Г / d2w \2 д2и> d2w I
дхг ду2 J
Граничные условия Край х= 0 шарнирно оперт; тогда
"=о = 0: (21)
">*=0=°- (22)
Второе условие можно записать в виде
(-?-+*-у-)--0- <*>
Край х = 0 защемлен. При этом
"=0=°( (24)
Ш,=о=° <""
Точки незагруженного края jt - 0 свободно
смещаются вдоль оси г. В этом случае
"х=0. (26)
Давление на подкрепляющее ребро Rx определяют по формуле (33)
гл. 17. Условие (26) можно записать в виде
(-
Край х=0 оперт на упругое ребро. При этом должно быть
EJ~^Kx, (28)
ИЛИ
где EJ - жесткость ребра по отношению к изгибу в вертикальной плоскости.
Прямоугольные гибкие пластинки и мембраны 601
Точки незагруженного края х~ 0 свободно смещаются вдоль оси х. В этом
случае напряжение ах вдоль края должно быть
(дЧ \
Wh^=0- (30)
Точки незагруженного края *=0 свободно смещаются вдоль оси у. При этом
должно быть
<3,)
Края ж = 0 и * = л закреплены так. что взаимное смешение их точек вдоль
оси х исключено. Тогда должно соблюдаться условие
",="-",=о=0.
Согласно первой из зависимостей (1) имеем ди ! / dw \2
дх ) *
ди 1 д^ф v д2Ф 1 / dw \2
~&Г ~ T'Hip Т'~д& 2~\~д7) '
Если учесть, что взаимное смещение точек краев х = i (при фиксированном
значении у) будет
f ди .
их--о - ""=0 - fa-
то граничное условие в окончательном виде примет вид
Г Г д2Ф д2Ф Е { dw \2"| , " .....
J [ 3/* V да' 2 ("ЗГ.) J ' 1 *
о
Взаимное смещение краев х - 0 и х = а вдоль оси х имеет фиксированное
значение. Пусть относительное сближение краев равно ех, т. е.
= -г (",=" - -о);
тогда
1 f Г а"Ф дЧ Е I dw \2 |
a J L ду> V dx* 2 ( дх ) J ~ (33)
о
602
Гибкие пластинки и мембраны
Расчет
Прямоугольная пластинка, шарнирно опертая по контуру, нагружена
давлением, равномерно распределенным по всей поверхности; контур
пластинки не смещается. Координатные оси расположены, как показано на
рис. 2. Пусть q - интенсивность поперечной нагрузки; h - толщина
пластинки; f - стрела прогиба (в центре). Безразмерный прогиб в центре и
безразмерное давление обозначим
тогда соотношение для определения прогиба
(34)
<г 16 •
Рис. 2 Прямоугольная пластинка под действием равномерно распределенного
давления
+ с,
Cj, С 2 приведены
(35)
Коэффициенты табл. I 12].
Максимальные напряжения изгиба в центре и напряжения в срединной
поверхности в центре:
4 hf *2
оу, и - С$Е
4/г/ й2 '
сх = С-ЯЕ
(36)
(37)
Полные напряжения
Сх, п Сх, и Ч~ О*-; Оу,п ~ с,/ш и Оу.
Численные значения коэффициентов С3-С6 см. в табл. I.
I. Значения коэффициентов С,-С" в формулах (35)-(37) при v = 0.25
ь 0'i с* с* С* С,
1,0 1.82 1,33 1.645 1.645 0,615 0,615
1,1 1,53 1.11 1,416 1,587 0,518 0,600
1.2 1,34 0,9Ь 1.242 1,544 0,448 0,592
1,3 1,21 0,84 1,107 1,510 0.392 0.584
1,4 1,11 0.76 1.000 1.484 0.351 0.581
1.5 1,05 0,70 0.913 1.462 0.315 0,574
1.6 1.00 0.65 0,843 1,444 0,288 0,571
1,7 0,45 0.60 0,784 1,429 0,263 0,568
1,8 0.93 0,57 0,735 1,417 0,246 0,567
1.9 0,90 0,54 0,693 1.407 0.230 0.566
2.0 0.88 0.52 0.658 1.398 0.217 0.566
Прямоугольны!' гибкие пластинки и мембраны
На рис. 3-3 приведены данные для определения стрелы прогиба, напряжений r
срединной поверхности и напряжений изгиба для квадратной пластинки но
результатам уточненного решения |2]; на рис 4 5 обозначено. А - угол
пластинки; С - центр
Прямоугольная пластинка шарнирно оперта по контуру и нагружена равномерно
но всей поверхности; края пластинки свободно смещаются (см. рис. 2)
Стрела прогиба и поперечная нагрузка связаны приближенным соотношением
\2]
(38)
192(1 -v2)
№ Я -
- отношение сторон.
Величины ? и q* определяют но формулам (34).
1 /
/
-
и 1.G i
К)с№ 1
(":кК1
-С и
Напряжения в срединной поверхности ое достигают наибольшего значения по
абсолютной величине у кромок (х = 0, х а) и по средней
линии пластинки
